Ferguson博弈

Problem

• 清空/分割游戏
• 进行游戏需要用到两个盒子，在游戏的开始，第一个盒子中有n枚石子，第二个盒子中有m
个石子(n, m > 0)。
• 参与游戏的两名玩家轮流执行这样的操作：清空一个盒子中的石子，然后从另一个盒子中
拿若干石子到被清空的盒子中，使得最后两个盒子都不空。
• 当两个盒子都被清空的时候，最后一个操作的人赢（或者说第一个无法操作的人输）

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Soluiton

• $（x，y）$表示两个盒子的石子数量分别是x和y时的局面
• 一个显然的先手必败态：（1,1），加以描述的话，1和1是两个奇数，也就是说，输的一方最后的局面一定是（奇数，奇数）
• 如果当前局面是（奇数，偶数），那么当前局面的先手可以选择将奇数盒清空，将偶数分成两个奇数，从而创造（奇数，奇数）的局面给后手
• 如果当前局面是（奇数，奇数），那么当前局面的先手无论清空哪一个，另一个奇数总要被分成一个奇数和一个偶数，也就是会给后手留一个（奇数，偶数）的局面，而后手完全可以在创造一个更小的（奇数，奇数）的局面（多次以后就会变成（1,1））给当前的先手，故（奇数，奇数）局面下的先手必败