DP5 到底有多少个二叉搜索树_规模为5的有序序列,二叉搜索树共有-优快云博客

这篇博客探讨了如何计算不同元素序列所能构建的不同二叉搜索树（BST）的数量。通过理解BST的性质，作者指出序列[1, 2, 3, 4]和[6, 7, 8, 9]可以构建相同数量的BST，因为增加的值并不影响BST的结构。引入动态规划方法，定义dp[i]表示节点数为i时BST的总数，通过计算根节点不同值的情况并累加，得到了求解序列1...n构建BST总数的解决方案。最后，博主提供了C++代码实现来计算给定序列的BST个数。

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有多少个不同的二叉搜索树

原题链接

此题首先得明白什么是二叉搜索树（BST），二叉搜索树即这样的一种结构，每个结点存放一个值，这个结点为根的左子树上存放的值小于这个值，右子树存放的大于这个值，并且左右子树都是BST。

此题给出的条件确定了每个结点的值都是不相同的。

正因如此，1，2，3，4序列可组成的BST的个数和6，7，8，9可组成的BST的个数是一样的。

这能给我们什么启示呢？从本质上来说，6，7，8，9可以看做是1，2，3，4全体加5的结果。

全体加5并不会影响BST树是BST树。因此，上述两个序列可组成BST的个数是一样的。

那么对于一个1…n序列有多少种可能性呢？

由于值是互不相同的，因此所组成的BST的根结点的值只有n个。

因此，如果我们能计算出根节点值相同的情况下可组成的BST的个数，再把这n种情况得到的结果相加，就能得到1…n序列可组成BST的总数。

又由于序列[1,…,n]和序列[m+1,…m+n]可组成的BST的总数是一样的。

所以如果我们去掉[1…n]序列中的根值m，根据BST的性质得到两个序列[1…m-1]和[m+1,…,n]。

定义dp[i] 为结点个数为i，总共可以组成BST的个数。

所以对于根植为m的可组成BST的总数为 dp[m-1]*dp[n-m]。

按相同的方式计算1-n中所有的结点，即可得到dp[n]。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main () {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    vector<int> dp(n+1);//dp(i) 结点个数为i 总共可以组成 BST 的个数
    dp[0] = dp[1] = 1;//dp[0] 取1是为了之后相乘时不出现乘0结果为0的情况
    
    int left, right, sum;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        sum = 0;//计算结果初始化
        for(int j = 0; j < i; ++j) {//左边结点从0枚举到n-1 根的值从1到n
            left = j;//计算当前结点左边有的结点个数
            right = i - j - 1;//右边的结点个数
            sum += dp[left] * dp[right];//两个情况相乘
        }
        dp[i] = sum;//当前所有的可能性
    }
    printf("%d", dp[n]);
    return 0;
}

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