DP5 到底有多少个二叉搜索树

这篇博客探讨了如何计算不同元素序列所能构建的不同二叉搜索树(BST)的数量。通过理解BST的性质,作者指出序列[1, 2, 3, 4]和[6, 7, 8, 9]可以构建相同数量的BST,因为增加的值并不影响BST的结构。引入动态规划方法,定义dp[i]表示节点数为i时BST的总数,通过计算根节点不同值的情况并累加,得到了求解序列1...n构建BST总数的解决方案。最后,博主提供了C++代码实现来计算给定序列的BST个数。

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有多少个不同的二叉搜索树

原题链接

此题首先得明白什么是二叉搜索树(BST),二叉搜索树即这样的一种结构,每个结点存放一个值,这个结点为根的左子树上存放的值小于这个值,右子树存放的大于这个值,并且左右子树都是BST。

此题给出的条件确定了每个结点的值都是不相同的。

正因如此,1,2,3,4序列可组成的BST的个数和6,7,8,9可组成的BST的个数是一样的。

这能给我们什么启示呢?从本质上来说,6,7,8,9可以看做是1,2,3,4全体加5的结果。

全体加5并不会影响BST树是BST树。因此,上述两个序列可组成BST的个数是一样的。

那么对于一个1…n序列有多少种可能性呢?

由于值是互不相同的,因此所组成的BST的根结点的值只有n个。

因此,如果我们能计算出 根节点值相同的情况下可组成的BST的个数,再把这n种情况得到的结果相加,就能得到1…n序列可组成BST的总数。

又由于序列[1,…,n]和序列[m+1,…m+n]可组成的BST的总数是一样的。

所以如果我们去掉[1…n]序列中的根值m,根据BST的性质得到两个序列[1…m-1]和[m+1,…,n]。

定义dp[i] 为结点个数为i,总共可以组成BST的个数。

所以对于根植为m的可组成BST的总数为 dp[m-1]*dp[n-m]。

按相同的方式计算1-n中所有的结点,即可得到dp[n]。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main () {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    vector<int> dp(n+1);//dp(i) 结点个数为i 总共可以组成 BST 的个数
    dp[0] = dp[1] = 1;//dp[0] 取1是为了之后相乘时不出现乘0结果为0的情况
    
    int left, right, sum;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        sum = 0;//计算结果初始化
        for(int j = 0; j < i; ++j) {//左边结点从0枚举到n-1 根的值从1到n
            left = j;//计算当前结点左边有的结点个数
            right = i - j - 1;//右边的结点个数
            sum += dp[left] * dp[right];//两个情况相乘
        }
        dp[i] = sum;//当前所有的可能性
    }
    printf("%d", dp[n]);
    return 0;
}

dp专题

<think>好的,用户想了解与5061相关的二叉搜索树问题或实现,具体包括实现、错误和算法。首先需要明确“5061”具体指什么。可能是指某个题目编号,比如LeetCode或其他OJ平台的题目。但检查常见的题库,LeetCode中没有5061题。可能需要进一步推测,比如可能涉及二叉搜索树的基本操作、验证、构造或优化。 根据用户提供的引用内容,引用[2]提到最优二叉搜索树算法,引用[4]讨论了BST与堆的区别,引用[1]提到了AVL树作为优化。可能的5061题目可能涉及这些方面,比如实现最优二叉搜索树,处理BST的错误(如验证BST),或者BST相关算法问题。 用户提供的引用中,引用[3]提到生成所有可能的BST,这类似于LeetCode 95题,生成所有不同的二叉搜索树。因此,5061可能是指类似的问题,比如生成BST或验证BST的正确性。假设用户的问题是关于如何实现BST的基本操作,或者处理BST中的常见错误,比如错误的结构导致非BST。 需要确认用户的具体需求,但根据现有信息,可以围绕BST的实现、验证以及相关算法(如最优BST)展开回答。同时,结合用户提供的引用,可能需要涵盖生成所有BST、验证BST、以及AVL树优化等内容。需要确保回答结构清晰,符合用户要求的格式,包括代码示例和相关问题生成。</think>### 5061 二叉搜索树问题解析与实现 #### 一、二叉搜索树(BST)基本实现 二叉搜索树的定义:满足左子树所有节点值小于根节点,右子树所有节点值大于根节点,且左右子树本身也是BST的二叉树[^4]。 **Python实现基础操作**: ```python class TreeNode: def __init__(self, val=0, left=None, right=None): self.val = val self.left = left self.right = right class BST: def insert(self, root, val): if not root: return TreeNode(val) if val < root.val: root.left = self.insert(root.left, val) else: root.right = self.insert(root.right, val) return root def search(self, root, val): if not root: return False if root.val == val: return True elif val < root.val: return self.search(root.left, val) else: return self.search(root.right, val) ``` #### 二、常见错误与验证方法 1. **错误类型**:非法的BST结构(例如右子树的左节点值大于根节点)。 2. **验证方法**:中序遍历结果应为严格递增序列,或递归检查节点值的上下界。 **验证BST的代码示例**: ```python def isValidBST(root): def helper(node, lower=float('-inf'), upper=float('inf')): if not node: return True if not (lower < node.val < upper): return False return helper(node.left, lower, node.val) and helper(node.right, node.val, upper) return helper(root) ``` #### 三、相关算法扩展 1. **最优二叉搜索树(OBST)**:通过动态规划选择节点插入顺序,最小化搜索代价[^2]。 - 状态转移方程:$$dp[i][j] = \min_{i \leq k \leq j} (dp[i][k-1] + dp[k+1][j]) + \sum_{m=i}^{j} freq[m]$$ 2. **生成所有可能的BST**:分治递归生成不同组合的子树[^3],如LeetCode 95题实现。 #### 四、性能优化方向 - **平衡BST**:当BST退化为链表时(单分支),时间复杂度退化为$O(n)$。通过AVL树或红黑树维护平衡性,保证操作时间复杂度为$O(\log n)$[^1]。 ---
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