2345的99次方的末4位数是多少？

 

昨天晚上睡觉的时候无意间想起来这是我高三那年去数学竞赛的时候遇到过类似的题目，当时没作出来，现在想尝试一下看看。

2345的99次方的末4位数。

先拿一个公式试着算下，

设a,b,c,d是四个一位整数(0-9）。

^为成方符号,例如2^3=2*2*2

则（a*10^3+b*10^2+c*10+d）可以表示为一个四位数.

  (x+y)^n

=x^n

+k1 * x^(n-1) * y

+k2  * x^(n-2)  * y^2

+k3  * x^(n-3) * y^3

……

+k(n-4) * x^4 * y^(n-4)

+k(n-3) * x^3 * y^(n-3)

+k(n-2) * x^2 * y^(n-2)

+k(n-1) * x^1 * y^(n-1)

+y^n                                        ……①         

这里k(n-i)代表系数.其数值应该为排列选择中C(原右上数,原右下数)的值.

这样一来,我们把x=a*10^3+b*10^2+c*10=10*(a*10^2+b*10^1+c),y=带如到①中,就会发现从首项到k(n-4) * x^4 * y^(n-4)这项得到的结果中都至少有*10^4,既①可以划掉部分与本题而言的无关项.化简后为

  k(n-3) * x^3 * y^(n-3) ……②

+k(n-2) * x^2 * y^(n-2) ……③

+k(n-1) * x^1 * y^(n-1)

+y^n

下面分别分析各项目.

②中x^3

=10^3*(a*10^2+b*10+c)^3

=10^3*[(a*10+b)*10+c]^3

=10^3*[ (a*10+b)^3*10^3

            +3(a*10+b)^2*10^2*c

            +3(a*10+b)*10*c^2

          + c^3]

还是用划去无关项的方法,可以化简为 10^3*c^3……④.

③中x^2

=10^2*(a*10^2+b*10+c)^2

=10^2*[a*10^2+(b*10+c)]^2

=10^2*[a^2*10^4

          +2a*10^2*(b*10+c)

          +(b*10+c)^2]

化简得

  10^2*(b*10+c)^2

再化简得 10^3*bc+10^2*c^2……⑤

所以

原始算式化简为

  k(n-3) * 10^3 * c^3 * d^(n-3)                                      ……⑥ 

+k(n-2) *  (10^3 * bc + 10^2 * c^2) * d^(n-2)          ……⑦

+k(n-1) *  (a*10^3+b*10^2+c*10) * d^(n-1)  + d^n      ……⑧

以上是通式,对于此类问题都可以用类似的方法.

此类问题在数字的选择上还是有一定技巧在里面的,不然就直接算有点...

通常接下来要具体运算了.

看这题目的特殊性,a/b/c/d=2/3/4/5,哈,还有的算。

⑥=10^3 * c * d*( 略了，不用了,以后用“（）”代替)=2 * 10^4 * (),不要了！

⑦=10^2 *c * d^2 * () =10^2 * 4 * 5^2 * () = 10^4 * () ,不要了！

就剩下⑧了，算吧。

⑧

=k(n-1) *  (a*10^3+b*10^2+c*10) * d^(n-1)  + d^n

=k(n-1) *  d^(n-3)  *  [(a*10^3 + b*10^2 + c*10) * d^2]  + d^n

=k(n-1) *  d^(n-3)  *  ( a*10^3 * d^2 + b*10^2 * d^2 + c * 10 * d^2) + d^n

=>k(n-1) *  d^(n-3)  *  (b*10^2 * d^2+10^3) + d^n

=99 * 49 * 5^96 * (3 * 25 * 10^2 + 10^3) + 5^99

= 99 * 49 * 5^96 * 10^3 + 99 * 49 * 5^96 * 75 * 10^2 + 5^99

=>9 * 9 * 5^96  * 10^3 +  ( 5000 - 99 - 49 +1) * 5^96 * 75 * 10^2 + 5^99

=> 81 * 5^96  * 10^3 +  53 * 5^96 * 75 * 10^2 + 5^99

=>5^96  * 10^3 + 159 * 5^98 * 10^2 + 5^99

=>5^96  * 10^3 + 59 * 5^98 * 10^2 + 5^99……⑨

多写了点，主要是想细致一点。

上面的红色部分是将要被化简的部分。

⑨中，有公因式5^96，先化简下他.

指数	1	2	3	4	5	6	7	8	9
幂末4位	0005	0025	0125	0625	3025	5125	5625	8025	0125

终于发现规律了，这样一来5^96=5^93*5^3=>0125*125=>5125.

⑨

=>5125  * 10^3 + 59 * 8025  * 10^2 + 0125

=>5000 + 147500 + 0125

=>2625