最长公共子序列 SSL1463 （动态规划）

题目描述：

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解题思路：

这题可以用暴搜枚举每一种可能，找出最优解，然后愉快超时。
分析题目，长度为 $n$ 的两个序列的最长公共子序列长度必然源于长度 $n-1$ 的两个序列的最长公共子序列长度，因此可以判断该问题具有最优子结构性，考虑动态规划。

这道题需要用到一种非常经典的线性DP，公共子序列DP。
俗话说得好，几乎每一种模板类型的DP的推出都离不开建模（就是画图！），而分析DP的办法最好就是打表，因此，在我们完全不知道DP方程的情况下，我们可以出一个小一点的数据，尝试打个表，自己推出DP

设这题数据为：
序列X为 $2467$
序列Y为 $2347$
把不同长度情况下序列的最长公共子序列的长度列出来：

先不说啥，设定状态，我们用 $d{p}_{i,j}$ 表示表格中第 $i$ 行第 $j$ 列的数，其中，$d{p}_{i,j}$ 表示从 X 序列的第 $i$ 个到 Y 序列的第 $j$ 个之间的最长公共子序列的长度。

我们用DP的思维方式来模拟填表过程。
首先看到 $X_1$ 和 $Y_1$，相等。很明显，由于 $X_1$ 和 $Y_1$ 的相等，$d{p}_{1,1}$ 很明显就等于1，意味着在 $X_{1-1}$ 和 $Y_{1-1}$ 这个区间内，由于元素的相等，使得公共子序列长度增加了1。

但是这样这太肤浅了，我们需要明白的是——这里是怎么变成 1 的。

还记得，我们上文说该问题具有最优子结构性。没错，这就是问题解决的关键。众所周知，任何具有最优子结构性问题的最优解，都是在子问题的最优解之上得来的。，明白了这个定义，我们就能明白图中的 $d{p}_{1,1}$ 是怎么得出来的。

最长公共子序列具有最优子结构性质，设序列$X=X_1,X_2,\dots \dots X_m$，$Y=Y_1,Y_2\dots \dots ，Y_n$ 的最长公共子序列为 $Z=Z_1,Z_2\dots \dots Z_k$

若 $X_m=Y_n$，则 $Z_k=X_m=Y_n$，且 $Z_k-1$ 是 $X_m-1$ 和 $Y_n-1$ 的最长公共子序列，因此 $d{p}_{m,n}=d{p}_{m-1,n-1}+1$
若 $X_m!=Y_n$，则 $d{p}_{m,n}=max(d{p}_{m-1,n},d{p}_{m,n-1})$。
再简单一点，按表格的形式来说，就是如果 $X_m=Y_n$，那么 $d{p}_{m,n}$ 等于表格中左上角的数 +1，否则等于表格左边和表格上面中稍大的数。

固有状态转移方程：

若 $X_m=Y_n$，$d{p}_{m,n}=d{p}_{m-1,n-1}+1$

否则 $d{p}_{m,n}=max(d{p}_{m-1,n},d{p}_{m,n-1})$

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CODE：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
string str1,str2;
char a[1001],b[1001];
int dp[1001][1001]={0},ans=0;
void input()
{
	cin>>str1>>str2;
	for(int i=0;i<str1.size();i++)
	  a[i+1]=str1[i];
	for(int i=0;i<str2.size();i++)
	  b[i+1]=str2[i];
}

void DP()
{
	for(int i=1;i<=str1.size();i++)
	  {
	  	for(int j=1;j<=str2.size();j++)
	  	  {
	  	  	if(a[i]==b[j])
	  	  	  dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
	  	  	else
	  	  	  {
	  	  	    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);	
			  }
			ans=max(ans,dp[i][j]);
		  }
	  }
	cout<<ans;
}

int main()
{
	input();
	DP();
	return 0;
} 

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总结：

DP的方程分析应该从子问题考虑。

能在鄙人这里得到一丁点启发的朋友们，欢迎留下你们的支持！！：）

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