leetcode-DP，动态规划问题

RyannchenOO

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分类专栏：数据结构与算法文章标签：动态规划 leetcode 算法

于 2022-02-10 21:36:20 首次发布

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博客探讨了动态规划的概念，通过斐波那契数列的问题来展示如何从递归解决方案中消除重复计算。首先介绍了基本的递归方法，其时间复杂度为O(2^n)。接着引入记忆化搜索，通过保存子问题的答案降低到O(n)，同时空间复杂度为O(n)。最后，通过自底向上的迭代方法进一步优化，达到O(n)的时间复杂度和O(1)的空间复杂度。这种方法称为动态规划，是解决复杂问题的有效策略。

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什么是DP？

动态规划其实就是，给定一个问题，我们把它拆成一个个子问题，直到子问题可以直接解决。然后呢，把子问题答案保存起来，以减少重复计算。再根据子问题答案反推，得出原问题解的一种方法。

带着以上方法理解斐波那契数列问题

经典递归问题

509. Fibonacci Number

(1) Fibonacci Number - LeetCode

 int fib(int n) {
        if(n==0 || n==1) return n;
        return fib(n-1)+fib(n-2);
    }

time complexity 为O（2^n）

根据递归树可见，这是一个自顶向下的递归树，本递归存在大量重复递归步骤

如何避免不必要的重复？——使用记录器

int fib(int n) {
        vector<int> memo(n+1,0);
        return helper(n,memo);
    }
    int helper(int n,vector<int>&memo){
        if(n==0 || n==1)    return n;
        if(memo[n]!= 0)  return memo[n];
        memo[n] = helper(n-2,memo)+helper(n-1,memo);
        return memo[n];
    }

去除重复计算后，时间复杂度降到了O（n），空间复杂度为O（n）

这种添加记忆的方法——memorization

基于递归树，借用二叉树的后序遍历优点，考虑将自顶向下的递归树改为自底向上的方式以减少递归。

 int fib(int n) {
        if(n==0 || n==1)    return n;
        int first = 0;
        int second = 1;
        while(--n>0){
            second = first + second;
            first = second - first;
        }
        return second;
    }

时间复杂度O（n），时间复杂度O（1）