图像处理中的傅立叶变换

傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换（DCT），gabor与小波（WT）在图像处理中也有重要的分量。

印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用：
1.图像增强与图像去噪
绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频噪声;  边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；
2.图像分割之边缘检测
提取图像高频分量
3.图像特征提取：
形状特征：傅里叶描述子
纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征
其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性
4.图像压缩
可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；

傅立叶变换
傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在（//对于图像数据，一定可以进行FT）。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分（//用基波及各次谐波信号的叠加来近似原始信号）。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）;

时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；

频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）；（//章毓晋：线性移不变性，空间移不变性）
卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点）

 

信号在频率域的表现
在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变部分，而低频分量决定信号的整体形象。（//所以一般也是以低频去调制高频，高频的细节不用变化，但由于低频信号的加入，让高频信号整体走向和低频一样）
在图像处理中，频率反应了图像在空域灰度变化剧烈程度，也就是图像灰度的变化速度，也就是图像的梯度大小（//比如在图像边缘，具有高频率，因为边缘处一般灰度变化剧烈——也正是因为此，才产生了“边缘”）。对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量。也就是说，傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征（//直接观察图像（从空域）当然更直观些，频域分析（抽象些，但）能看出某些在空域看不出的特征——各有利弊）。书面一点说就是，傅里叶变换提供了一条从空域到频率自由转换的途径。对图像处理而言，以下概念非常的重要：

图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪声，更多是两者的混合（//所以边缘提取，或者说边缘检测时，噪声会产生影响）；
低频分量：图像变化平缓的部分，也就是图像轮廓信息（//图像的整体形貌，多为区域部分）
高通滤波器：让图像使低频分量抑制，高频分量通过
低通滤波器：与高通相反，让图像使高频分量抑制，低频分量通过
带通滤波器：使图像在某一部分的频率信息通过，其他过低或过高都抑制
还有个带阻滤波器，是带通的反。

模板运算与卷积定理
在时域内做模板运算（//准确的说是：在空间域对图像做模板运算），实际上就是对图像进行卷积。模板运算是图像处理一个很重要的处理过程，很多图像处理过程，比如增强/去噪（这两个分不清楚），边缘检测中普遍用到。根据卷积定理，时域卷积等价于频域乘积。因此，在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理（时域/空域卷积运算和相关运算区别就在于：模板旋转了180度。再次谨记：时域卷积等于频域相乘）。
比如说一个均值模板，其频域响应为一个低通滤波器；在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应作一个低通滤波。（//时域的“均值”对应频域的“截止频率”）

图像去噪
图像去噪就是压制图像的噪音部分。因此，如果噪音是高频分量，从频域的角度来看，就是需要用一个低通滤波器对图像进行处理。通过低通滤波器可以抑制图像的高频分量。但是这种情况下常常会造成边缘信息的抑制。常见的去噪模板有均值模板，高斯模板等。这两种滤波器都是在局部区域抑制图像的高频分量，模糊图像边缘的同时也抑制了噪声。还有一种非线性滤波-中值滤波器（//如MATLAB中的colfilt(I,[5 5],'sliding',@mean);——此函数的执行过程：对图像I调用im2col函数按‘sliding’的方式将5x5的块转换为列，然后对每个列使用mean函数求均值，得到一个行向量，然后调用col2im将行向量（按一定的方式）还原为图像数据（im2col的逆过程），即得到了中值滤波后的图像。此过程的本质是：模板运算！详参之前的博文：非线性空间滤波
）。中值滤波器对脉冲型噪声有很好的去掉效果。因为脉冲点都是突变的点，排序以后输出中值，那么那些最大点和最小点就可以去掉了。中值滤波对高斯噪音效果较差（//高斯噪声满足高斯分布，和分布有关？）。

椒盐噪声：对于椒盐采用中值滤波可以很好的去除。用均值也可以取得一定的效果，但是会引起边缘的模糊。
高斯白噪声：白噪音在整个频域的都有分布，好像比较困难。（//白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。从我们耳朵的频率响应听起来它是非常明亮的“咝”声）
冈萨雷斯版图像处理P185：算术均值滤波器和几何均值滤波器（尤其是后者）更适合于处理高斯或者均匀的随机噪声。谐波均值滤波器更适合于处理脉冲噪声。

图像增强
有时候感觉图像增强与图像去噪是一对矛盾的过程，图像增强经常是需要增强图像的边缘（//增强也包括增加图像的对比度），以获得更好的显示效果（与观察效果），这就需要增加图像的高频分量。而图像去噪是为了消除图像的噪音，也就是需要抑制高频分量。有时候这两个又是指类似的事情。比如说，消除噪音的同时图像的显示效果显著的提升了，那么，这时候就是同样的意思了。（//增强与去噪是一对矛盾？我们希望突出我们感兴趣的地方（如边缘），抵制不感兴趣的地方（如噪声））
常见的图像增强方法有对比度拉伸，直方图均衡化（//还有：直方图规定化/直方图匹配），图像锐化等。前面两个是在空域进行基于像素点的变换，后面一个是在频域处理。我理解的锐化就是直接在图像上加上图像高通滤波后的分量，也就是图像的边缘效果。对比度拉伸和直方图均衡化都是为了提高图像的对比度，也就是使图像看起来差异更明显一些，我想，经过这样的处理以后，图像也应该增强了图像的高频分量，使得图像的细节上差异更大。同时也引入了一些噪音。

（注：//后为自己加的注释）