『随机化』CF1305F Kuroni and the Punishment

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}$

给定 $n$ 个数。每次可以选择将一个数 $+1$ 或 $-1$ 。求至少多少次操作使得整个序列全部元素的 $\gcd >1$ 。

$n\le 10^5,a_i\le 10^{12}$ 。

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$\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$

首先由一个性质：答案不会超过$n$.

• 因为无论如何我们都可以通过小于等于 $n$ 次操作转化为所有数字都是$2$的倍数。

有上述结论可知，至少有一半的数字操作次数小于$2$次。

• 若有超过一半的数字操作次数超过 $2$ 次了，那么操作次数一定大于$n$，与上述矛盾。

因此我们观察到有一半的性质，可以联想到随机化算法。

• 每一次都随机一个数，那么答案一定是这个数$x(\pm 1)$的因数。
• 每一次我们的正确率为$\frac{1}{2}$，因此循环$k$次以后正确率为$1-\frac{1}{2^k}$.

时间复杂度：$O(nk)$.

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$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;
const int N = 3e5;

int n;
int a[N], cnt[N];

int read(void)
{
	int s = 0, w = 0; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') w |= c == '-', c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') s = s*10+c-48, c = getchar();
	return w ? -s : s;
}

int Get(int x)
{
	int sum = 0;
	for (int i=1;i<=n;++i) 
	{
		if (a[i] < x) sum += x - a[i];
		else sum += min(a[i] % x, x - a[i] % x);
	}
	return sum;
}

int Solve(int x)
{
	if (x <= 1) return 1e9;
	int res = 1e9;
	for (int i=2;i*i<=x;++i)
	{
		if (x % i) continue;
		res = min(res, Get(i));
		while (x % i == 0) x /= i;
	}
	if (x > 1) res = min(res, Get(x));
	return res;
}

int res = 1e9;
void work(int x)
{
	res = min(res, Solve(x));
	res = min(res, Solve(x + 1));
	res = min(res, Solve(x - 1));
	return;
}

signed main(void)
{
	srand((unsigned)time(0));
	n = read();
	for (int i=1;i<=n;++i) a[i] = read();
	int T = 10;
	while (T --) work(a[1LL * rand() * rand() % n + 1]);
	cout << res << endl;
	return 0;
}