bzoj 3122: [Sdoi2013]随机数生成器

最新推荐文章于 2019-04-05 17:05:00 发布

原创最新推荐文章于 2019-04-05 17:05:00 发布 · 289 阅读

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本文介绍如何使用BSGS算法解决线性同余方程问题，并提供详细的代码实现。讨论了方程ax=y(mod m)的解的存在条件及求解过程，同时分享了AC代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

在学了bsgs之后，我怎么觉得这题的难点是在于怎么求线性同余方程了...在这写一下顺便就当复习一下好了。

线性同余方程大概就是求解 ax=y (mod m) 的x，直观来看好像求个a的逆元乘个y就行了，但是事实上这个方程存在无解的情况，令d=gcd(a,m)，如果y不能整除d方程是无解的，否则给y除以d，按上面的方法计算即可。

这道题怎么推导...不太会用latex就先不写了，黄学长写的挺清楚的，跳转。

话说就是bsgs这个根号暴力也好妙啊。

下附AC代码。

// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<math.h>
#define maxn 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,x1,t,mod;	
ll exgcd(ll p,ll q,ll &x,ll &y)
{
    if(!q) 
    {
        x=1;
        y=0;
        return p;
    }
    ll temp=exgcd(q,p%q,y,x);
    y-=(p/q)*x;
    return temp;
}
ll quickpow(ll p,ll k)
{
    ll ans=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            ans=(ans*p)%mod;
        p=(p*p)%mod;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}
map<ll,int> dic;
ll bsgs(ll x,ll y)
{
//	cerr<<x<<" "<<y<<endl;
    x%=mod;
    if(!x)
    {
        if(!y) return 1;
        return -1;
    }
//	cerr<<"+1"<<endl;
    ll m=sqrt(mod)+1;
    dic.clear(); dic[1]=m+1;
    ll temp=1,temp2=quickpow(a,mod-1-m);
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        temp=(temp*x)%mod;
        if(!dic[temp]) 
            dic[temp]=i;
    }
    temp=1;
    for(int k=0;k<m;k++,temp=(temp*temp2)%mod)
    {
        int now=dic[y*temp%mod];
//		cerr<<now<<endl;
        if(now)
        {
            if(now==m+1) now=0;
            return 1ll*k*m+now;
        }
    }
    return -1;
}
ll solve1()
{
    ll x,y;
    ll temp1=exgcd(b,mod,x,y); x=(x%mod+mod)%mod;
    ll temp2=(t-x1+mod)%mod;
    if(temp2%temp1) return -1;
    temp2/=temp1;
    x=(x*temp2)%mod;
    return x+1;
}
ll solve2()
{
    ll c=quickpow(a-1,mod-2);
    ll temp1=(b*c+x1)%mod;
    ll temp2=(b*c+t)%mod;
    ll x,y;
    ll temp3=exgcd(temp1,mod,x,y); x=(x%mod+mod)%mod;
    if(temp2%temp3) return -1; temp2/=temp3;
    x=(x*temp2)%mod;
    ll res=bsgs(a,x);
    return res!=-1 ? res+1 : res;
}
int main()
{
    int _;
    scanf("%d",&_);
    while(_--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&mod,&a,&b,&x1,&t);
        if(x1==t) printf("%d\n",1);
        else if(a==0) 
        {
            if(b==t)
                printf("%d\n",2);
            else 
                printf("%d\n",-1);
        }
        else if(a==1)
        {
            printf("%lld\n",solve1());
        }
        else
        {
            printf("%lld\n",solve2());
        }
    }
}