从最短路到差分约束系统

从最短路到差分约束系统

1. Bellman-Ford（SPFA）

   1. void spfa(int s)
      {
      	memset(dis,-1,sizeof(dis));
      	memset(vis,0,sizeof(vis));
      	dis[s]=0;
      	q.push(s); vis[s]=1;
      	while(!q.empty())
      	{
      		int now=q.front(); vis[now]=0;
      		for(int i=head[now];i;i=nex[i])
      		{
      			if(dis[to[i]]==-1 || dis[to[i]]>dis[now]+val[i])
      			{
      				dis[to[i]]=dis[now]+val[i];
      				if(!vis[to[i]])
      				{
      					vis[to[i]]=1;
      					q.push(to[i]);
      				}
      			}
      		}
      	}
      }
      

   2. 注意复杂度为O(n*m)，一般别用。

2. Dijkstra

   1. void dijkstra(int s)
      {
      	for(int i=1;i<=n;i++)
      		dis[i]=-1,vis[i]=0;
      	dis[s]=0;
      	q.push(nod(s,0));
      	while(!q.empty())
      	{
      		int now=q.top().id;
      		q.pop();
      		if(vis[now]) continue;
      		vis[now]=1;
      		for(int i=head[now];i;i=nex[i])
      		{
      			if(dis[to[i]]==-1 || dis[to[i]]>dis[now]+val[i])
      			{
      				dis[to[i]]=dis[now]+val[i];
      				q.push(nod(to[i],dis[to[i]]));
      			}
      		}
      	}
      }
      

3. Johnson

   1. 一般用于求N很大的多源最短路，复杂度为o(N * M * log(n))，边权可以为负。
   2. 做法：
      1. 我们新建一个虚拟节点0。从这个点向其他所有点连一条边权为 0 的边。
      2. 接下来用 Bellman-Ford 算法求出从 0 号点到其他所有点的最短路，记为 hi 。
      3. 对每一条边，我们将边权重新设置为 w+hu-hv 。
      4. 以每个点为起点，跑 n 轮 Dijkstra 即可。

4. 差分约束系统

   1. 差分约束是什么呢，差分约束就是给定一些不等式，求是否存在合法解,
   2. 如一群小朋友分糖，要求小朋友a的糖必须比小朋友b的糖至少多d。
   3. 做法
      1. 那如果我们设小朋友a的糖为dis[a]，小朋友b的糖为dis[b]，那么就有等式dis[a]>=dis[b]+d，
      2. 那么说明dis[a]<dis[b]+d的时候我们要把它改成满足上面的形式，那么就是最长路的形式了，
      3. 当dis[a]<dis[b]+d的时候，把它改成dis[a]>=dis[b]+d，如果存在正环说明可以无限次松弛，则说明无解。
      4. 要求dis[a]==dis[b]+d 可以转换为dis[a]<=dis[b]+d && dis[a]>=dis[b]+d
      5. 要求dis[a]>dis[b]+d 可以转换为dis[a]>=dis[b]+d+1