B-tree

 

B树

5叉排序树的结点定义

struct Node {    ElemType keys[4]; // 最多4个关键字    struct Node *child[5]; // 最多五个孩子    int num; // 节点中有几个关键字};

• 最少1个关键字, 2个分叉; 最多4个关键字, 5个分叉
• 结点内关键字有序

如何保证查找效率

• 若每个结点内关键字太少, 导致树变高, 要查更多层的结点, 效率低
  • 策略1: m叉查找树中, 规定除了根结点外, 任何结点至少有⌈m/2⌉个分叉, 即至少含有⌈m/2⌉-1个关键字(如果整棵树只有1个元素, 根结点只有两个分叉)(对于5叉查找树, 除根结点外, 至少有3个分叉, 2个关键字)
• 不够平衡, 树会很高, 要查很多层结点
  • 策略2: m叉查找树中, 规定对于任何一个结点, 其所有子树的高度都要相同

B树的定义

B树, 又称多路平衡查找树, B树中所有结点的孩子个数的最大值称为B树的阶, 通常用m表示. 一棵m阶B树或为空树, 或为满足如下特性的m叉树: 1. 树中每个结点至多有m棵子树, 即至多含有m-1个关键字 2. 若根结点不是终端结点, 则至少有两棵子树 3. 除根结点外的所有非叶结点至少有⌈m/2⌉棵子树, 即至少含有⌈m/2⌉-1个关键字 4. 所有的叶子结点都出现在同一层次上, 并且不带信息(可以视为外部结点或者类似于折半查找树的查找失败结点, 实际上这些结点不存在, 指向这些结点的指针为空) 5. 所有非叶结点的结构如下: | n | P0 | K1 | P1 | K2 | P2 | … | Kn | Pn | | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |

其中, Ki(i=1, 2, ..., n)为结点的关键字, 且满足K1<K2<...Kn; Pi(i=0, 1, ..., n)为指向子树根结点的指针, 且指针Pi-1所指子树中所有结点的关键字均小于Ki, Pi所指子树中所有结点的关键字均大于Ki, n(⌈m/2⌉-1≤n≤m-1)为结点中关键字的个数

m阶B树的核心特性

1. 根结点的子树数∈[2, m], 关键字数∈[1, m-1] 其他结点的子树数∈[⌈m/2⌉, m]; 关键字数∈[⌈m/2⌉-1, m-1]
2. 对任一结点, 其所有子树的高度相同
3. 关键字的值: 子树0<关键字1<子树1<关键字2<子树2<…(类比二叉查找树 左<中<右)

B树的高度

问题: 含n个关键字的m阶B树, 最小高度、最大高度是多少? - 最小高度——让每个结点尽可能填满, 有m-1个关键字, m个分叉. 则结点的总数为(m-1)(1+m+m2+…+m(h-1))=m^h-1, 则要使n个节点构成的B树高度为h的话, 要满足n≤m^h-1, 因此h≥logm(n+1) - 最大高度——让各层的分叉尽可能的少, 即根结点只有2个分叉, 其他结点只有⌈m/2⌉个分叉, 各层结点至少有: 第一层1、第二层2、第三层2⌈m/2⌉…第h层2(⌈m/2⌉)^(h-2), 第h+1层至少有叶子结点(失败结点)2(⌈m/2⌉)^(h-1)个. n个关键字的B树必有n+1个叶子结点, 则n+1≥2(⌈m/2⌉)^(h-1), 即h≤log⌈m/2⌉((n+1)/2)+1

B树的高度满足: logm(n+1)≤h≤log⌈m/2⌉((n+1)/2)+1

B树的插入和删除

B树的插入

• 结点关键字个数的范围: ⌈m/2⌉-1≤n≤m-1
• 在插入后, 若导致原结点关键字数超过上限, 则从中间位置(⌈m/2⌉)将其中的关键字分为两部分, 左部分包含的关键字放在原结点中, 右部分包含的关键字放到新结点中, 中间位置(⌈m/2⌉)的结点插入原结点的父结点. 若此时导致其父结点的关键字个数也超过了上限, 则继续进行这种分裂操作, 直至这个过程传到根结点为止, 进而导致B树的高度增1
• 新元素一定是插入到最底端的“终端结点”, 用“查找”确定插入位置(B树的失败结点只能出现在最下面的一层)

B树的删除

• 若删除关键字在终端结点, 则直接删除该关键字(要注意结点关键字个数是否低于下限⌈m/2⌉-1)
• 若删除关键字在非终端结点, 则用直接前驱或者直接后继来替代被删除的关键字. (直接前驱: 当前关键字左侧指针所指子树中“最右下”的元素; 直接后继: 当前关键字右侧指针所指子树中“最左下”的元素)对非终端结点关键字的删除, 必然可以转化为对终端结点的删除操作
• 兄弟够借: 若被删除关键字所在结点删除前的关键字个数低于下限, 且与此结点右(或左)兄弟结点的关键字个数还很宽裕, 责需要调整该结点、右(或左)兄弟结点及其双亲结点(父子换位法)(简单的说, 就是当右兄弟很宽裕的时候, 用当前结点的后继、后继的后继来填补空缺; 当左兄弟很宽裕的时候, 用当前结点的前驱、前驱的前驱来填补空缺)
• 兄弟不够借: 若被删除关键字所在结点删除前的关键字个数低于下限, 且此时与该结点相邻的左、右兄弟结点的关键字个数均=⌈m/2⌉-1, 则将关键字删除后与左(或右)兄弟结点及双亲结点中的关键字进行合并.在合并的过程中, 双亲结点中的关键字个数会-1. 若其双亲结点是根结点且其关键字个数减少至0(根结点关键字个数为1时, 有2棵子树), 则直接将根结点删除, 合并后的新结点成为根; 若双亲结点不是根结点, 且关键字个数减少到⌈m/2⌉-2, 则又要与它自己的兄弟结点进行调整或者合并操作, 并重复上述步骤, 直至符合B树的要求为止