Q-learning

第一部分：强化学习基础

在深入探讨Q-learning之前，我们需要先理解强化学习的基本概念和框架，因为Q-learning是强化学习中的一种具体算法。

1.1 什么是强化学习？

强化学习是一种机器学习范式，目标是让智能体（Agent）通过与环境（Environment）的交互，学习如何采取行动以最大化长期的累积奖励（Cumulative Reward）。与监督学习（有明确标签）和无监督学习（寻找数据结构）不同，强化学习的特点包括：

• 试错学习：智能体通过尝试不同行动，观察结果，逐步改进策略。
• 延迟奖励：奖励可能不是即时的，智能体需要考虑长期收益。
• 序列决策：智能体的决策是连续的，每一步行动会影响后续状态。

强化学习的典型应用包括：

• 游戏（如AlphaGo）
• 机器人控制
• 自动驾驶
• 推荐系统

1.2 强化学习的数学框架

强化学习通常被建模为马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP），这是一个数学框架，包含以下核心元素：

1. 状态（State, $S$）：

   • 表示环境的某种配置。例如，在迷宫游戏中，智能体的位置是一个状态。
   • 状态集合 $\mathcal{S}$ 可以是离散的（如网格世界的格子）或连续的（如机器人的关节角度）。

2. 动作（Action, $A$）：

   • 智能体在某个状态下可以采取的决策。例如，在迷宫中，动作可能是“上、下、左、右”。
   • 动作集合 $\mathcal{A}$ 同样可以是离散的或连续的。

3. 奖励（Reward, $R$）：

   • 环境对智能体动作的反馈，是一个标量值。例如，走出迷宫可能得到 $+100$ 的奖励，撞墙可能得到 $-1$。
   • 奖励函数 $R(s,a,s^{\prime })$ 表示在状态 $s$，采取动作 $a$，转移到状态 $s^{\prime }$ 时获得的奖励。

4. 状态转移概率（Transition Probability, $P$）：

   • 描述环境如何根据智能体的动作从一个状态转移到另一个状态。
   • 形式为 $P(s^{\prime }|s,a)$，表示在状态 $s$ 采取动作 $a$ 后转移到状态 $s^{\prime }$ 的概率。
   • 如果环境是确定性的，转移是固定的；如果是随机的，则有概率分布。

5. 折扣因子（Discount Factor, $\gamma$）：

   • $\gamma \in [0,1)$，用于平衡短期和长期奖励。
   • 如果 $\gamma$ 接近 0，智能体更重视短期奖励；如果接近 1，则更关注长期奖励。

1.3 强化学习的目标

强化学习的目标是找到一个策略（Policy, $\pi$），它告诉智能体在每个状态下应采取什么动作，以最大化期望累积奖励。策略可以是：

• 确定性策略：$\pi (s)=a$，在状态 $s$ 总是选择动作 $a$。
• 随机性策略：$\pi (a|s)$，在状态 $s$ 选择动作 $a$ 的概率。

期望累积奖励（也叫回报，Return）定义为：
$G_t=R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+{\gamma }^2{R}_{t+3}+\cdots ={\sum }_{k=0}^{\infty }{\gamma }^k{R}_{t+k+1}$
其中 $R_{t+1}$ 是时间步 $t+1$ 的奖励，$\gamma$ 是折扣因子。

智能体的目标是找到最优策略 ${\pi }^{\ast }$，使期望回报最大：
${\pi }^{\ast }=\arg {\max }_{\pi }\mathbb{E}[G_t|\pi ]$

1.4 值函数（Value Function）

为了评估策略的好坏，强化学习引入了值函数，分为两种：

1. 状态值函数（State-Value Function, $V^{\pi }(s)$）：

   • 表示在状态 $s$，按照策略 $\pi$ 行动的期望累积奖励：
     $V^{\pi }(s)={\mathbb{E}}_{\pi }[G$