【组合数学】Catalan数

Resurgence03

已于 2024-10-10 21:49:38 修改

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文章标签：数据结构笔记

于 2024-09-21 11:26:28 首次发布

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按上述定义得到的Catalan序列满足 $C_2=C_3=1$

以下将初值条件换为 $C_0=C_1=1$ ，无本质区别，此时 $\displaystyle C_n = \frac{(2n)!}{n!(n+1)!}=\dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$

具有n个互异关键码节点的二叉搜索树有种
- 设节点编号1~n
- 取编号为i的节点作为根节点
  - 根据二叉搜索树的单调性
    - 编号为1~i-1的节点组成左子树
    - 编号为i+1~n的节点组成右子树
  - 在这一情形下有 $C_{i-1}C_{n-i}$ 种可能
- 从而总共有 $\displaystyle \sum_{i=1}^nC_{i-1}C_{n-i}$ 种可能，是Catalan数递推公式
具有n个节点的二叉树有种
- 看作n个互相同键码节点的二叉搜索树
n对括号匹配序列有 $C_n$ 种
计算n个元素作结合性运算结果的顺序有种
- 看作n-1对括号匹配序列
具有n个叶节点的真二叉树有种
- 看作n个元素作结合性运算

参考：

1. 卢开澄. 组合数学.

2. Narasimha Karumanchi. Data Structures and Algorithms Made Easy: Data Structures and Algorithmic Puzzles.

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