FFT算法

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原创最新推荐文章于 2026-02-20 03:46:03 发布 404 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

FFT(傅里叶快速变换，详细讲解+推导) 每日一遍，算法再见！ FFT详细推导FFT(傅里叶快速变换)一.前置知识1.复数和单位根2.单位根的三个引理3.多项式二.FFT(快速傅里叶变换推导)三.IFFT四.FFT求解多项式乘积模板代码1.递归版2.非递归版(这个更快，省去了递归时间)五.视频资源 FFT(傅里叶快速变换) FFT在实际工程中有着非常的广泛，尤其是在信号领域，在ACM算法竞赛领域主要可以用来快速计算多项式的乘积一.前置知识 1.复数和单位根有人会觉得FFT怎么会用到复数的知识，想必是有点古怪，后面在推导过程中会介绍到它的用处。 2.单位根的三个引阅读详情

$对于一个有限长序列{xn∣0≤n≤N−1}序列的离散傅里叶变换对于一个有限长序列\{x_n| 0 \leq n \leq N-1\}序列的离散傅里叶变换$

$X(m)=∑n=0N−1x(n)e−j2πNmn=∑n=0N−1x(n)WmnX(m)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-\frac{j 2\pi}{N}mn}=\sum_{n=0}^{N-1}x(n) W^{mn}$
$W为N次单位根\tiny W为N次单位根$

假设N=8，则有
在这里插入图片描述

1.迭代次数
$r=log_2N$
2.对偶节点
$对偶节点是具有相同来源的一对节点xl(k)为第l次迭代，第k行的数据，其对偶节点为xl(k+N2l)对偶节点是具有相同来源的一对节点\\ x_l(k)为第l次迭代，第k行的数据，其对偶节点为\\ x_l(k+\frac{N}{2^l})$

$例：N=8时，x1(1)的对偶节点为x1(1+4)x2(1)的对偶节点为x2(1+2)例：N=8时，x_1(1)的对偶节点为x_1(1+4)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x_2(1)的对偶节点为x_2(1+2)\\$

3.加权系数
$xl(k)的加权系数WNP的P值计算(本例N=8，或者说WP的计算)k写成r位二进制数，右移（r−l）位并在左侧补零，颠倒，转十进制x_l(k)的加权系数W_N^P的P值计算(本例N=8，或者说W^P的计算)\\ k写成r位二进制数，右移（r-l）位并在左侧补零，{\color{red}颠倒}，转十进制$

4.得到第r次结果的重排序
$xr(k)的k,k写成r位二进制数,颠倒，转十进制x_r(k)的k,k写成r位二进制数,{\color{red}颠倒}，转十进制$

在这里插入图片描述
$另一种看法：（转换一下观点）左到右是二对一映射,除一直线外还有一条斜线一开始以最大的跨度进行链接即，当前+N2直到最小跨度停止，即，当前+NN并且保持每次对半分割。另一种看法：（转换一下观点）\\ 左到右是二对一映射,除一直线外还有一条斜线\\ 一开始以最大的跨度进行链接{\color{red}即，当前+\frac{N}{2}}\\ 直到最小跨度停止，{\color{red}即，当前+\frac{N}{N}}\\ 并且保持每次对半分割。$