基础算法 --- 线性DP

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前言

线性DP同样作为DP领域中非常重要的一部分，其指的是状态之间含有某种线性关系，大多求最大/最小值。最典型的题目为子序列，编辑距离，股票问题。

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一、序列问题

1. 最长上升子序列

Acwing 897
给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
当N的数据量并不大时 （10^4) ，可以直接使用朴素解法，即 O(n^2) 的时间复杂度，否则需要优化解法，即 O(nlogn) 的时间复杂度。

1.1 朴素写法

1. 设置状态数组f[i]，表示以 nums[i] 结尾的数可以构成的最长上升子序列长度。
2. 状态转移方程：$$f[i]=Max(f[0],f[1],...,f[i-1])+1$$当然括号内的 f[j] 应该满足 $$nums[i]>nums[j]$$

import java.util.*;

public class Main {
   
   
    public static void main(String[] args) {
   
   
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int[] nums = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i ++) {
   
   
            nums[i] = in.nextInt();
        }
        int[] f = new int[n];
        
        Arrays.fill(f, 1);
        
        for (int i = 1; i < n; i ++) {
   
   
            for (int j = 0; j < i; j ++) {
   
   
                if (nums[i] > nums[j]) {
   
   
                    f[i] = Math.max(f[i], f[j] + 1);
                }
            }
        }
        
        System.out.println(Arrays.stream(f).max().getAsInt());
    }
}

1.2 优化写法

时间复杂度 O(nlogn)，可以理解为以 O(n) 的时间复杂度来遍历整个数组，再用 O(logn) 的时间复杂度来确定每一个数所能构成的最优最长上升子序列。

1. 构造遍历到当前数的最长上升子序列数组 ans 。
2. 通过二分查找确定当前数t的最优插入位置，即插入到大于等于t的第一个数的下标位置，如果插入位置的数等于 t 则覆盖。
3. 第二步保证的是以 t 结尾且长度为 x 的最长上升子序列的各部分最大值最小。

1.2.1 二分写法

import java.util.*;

public class Main {