基础算法 --- 线性DP_性里面dp-优快云博客

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本文详细介绍了线性动态规划（DP）在解决序列问题中的应用，包括最长上升子序列和最短编辑距离。讨论了如何优化最长上升子序列的解法，通过二分查找和TreeSet实现。同时阐述了最长公共子序列的朴素写法。编辑距离部分解释了如何通过状态转移方程找到从一个字符串转换到另一个的最小操作次数。

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文章目录

前言
一、序列问题
二、编辑距离
- 1. 最短编辑距离
- - 1.1 朴素写法
总结

前言

线性DP同样作为DP领域中非常重要的一部分，其指的是状态之间含有某种线性关系，大多求最大/最小值。最典型的题目为子序列，编辑距离，股票问题。

一、序列问题

1. 最长上升子序列

Acwing 897
给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
当N的数据量并不大时 （10^4) ，可以直接使用朴素解法，即 O(n^2) 的时间复杂度，否则需要优化解法，即 O(nlogn) 的时间复杂度。

1.1 朴素写法

设置状态数组f[i]，表示以 nums[i] 结尾的数可以构成的最长上升子序列长度。
状态转移方程： $f [i] = M a x (f [0], f [1], . . ., f [i - 1]) + 1$ 当然括号内的 f[j] 应该满足 $n u m s [i] > n u m s [j]$

import java.util.*;

public class Main {
   
   
    public static void main(String[] args) {
   
   
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int[] nums = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i ++) {
   
   
            nums[i] = in.nextInt();
        }
        int[] f = new int[n];
        
        Arrays.fill(f, 1);
        
        for (int i = 1; i < n; i ++) {
   
   
            for (int j = 0; j < i; j ++) {
   
   
                if (nums[i] > nums[j]) {
   
   
                    f[i] = Math.max(f[i], f[j] + 1);
                }
            }
        }
        
        System.out.println(Arrays.stream(f).max().getAsInt());
    }
}

1.2 优化写法

时间复杂度 O(nlogn)，可以理解为以 O(n) 的时间复杂度来遍历整个数组，再用 O(logn) 的时间复杂度来确定每一个数所能构成的最优最长上升子序列。

构造遍历到当前数的最长上升子序列数组 ans 。
通过二分查找确定当前数t的最优插入位置，即插入到大于等于t的第一个数的下标位置，如果插入位置的数等于 t 则覆盖。
第二步保证的是以 t 结尾且长度为 x 的最长上升子序列的各部分最大值最小。

1.2.1 二分写法

import java.util.*;

public class Main {