动态规划----背包问题（01背包问题）

例题洛谷P1048

[NOIP2005 普及组] 采药

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 $2$ 个整数 $T$（$1\le T\le 1000$）和 $M$（$1\le M\le 100$），用一个空格隔开，$T$ 代表总共能够用来采药的时间，$M$ 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间（包括 $1$ 和 $100$）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

样例 #1

样例输入 #1

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出 #1

3

提示

【数据范围】

• 对于 $30\%$ 的数据，$M\le 10$；
• 对于全部的数据，$M\le 100$。

【题目来源】

NOIP 2005 普及组第三题

题解

这是一道十分经典的DP（动态规划）问题 （但是折磨了我好久QAQ） _（害怕）
其实理解了以后就很简单，这里通过列表的方法来帮助理解AWA

i	1	2	3	4
w	2	3	4	5
v	3	4	5	6

其中 i 表示物品编号， w 表示该物品的重量， v 表示该物品的价格
然后我们可以列出状态转移方程:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
为什么是这样呢,别急再列个表就知道了
我们将数据分别代入动态转移方程可以得到该表:
这样就很好理解啦,这里再附上一张图:

(图片转载于Yngz_Miao)
这样就非常好理解啦~
干饭去了,撤退!
补充: 这里有一个问题可能会困扰一些人 _{刚开始我也被困扰了好久QAQ(汗)} ,dp[i][j-w[i]]数组所指向的状态,若可以将两个物品都放入,则dp数组所指向的状态就可以加上现在这个物品的价值,同时再减去所需的空间, 所以不难发现,这个动态规划的 阶段 就是物品的编号, 状态 就是背包中还剩下的空间.

-分界线–分界线–分界线–分界线–分界线–分界线–分界线–分界线–分界线–分界线–分界线–分界线-

干晚饭了回来继续写题解啦(笑~)

其实这个背包是可以优化的,在空间上可以将这个数组压成一维的数组:
  通过分析我们可以发现,每一个阶段的某个状态是由上一个阶段前面的状态推到出来的,所以,我们可以尝试从后往前推导, 因为后面元素靠前面的元素更新,且不会影响前面的元素 ,所以只需要在第二层循环的时候从后往前循环,就可以压缩空间 _{似乎好像也避免了重复}