算法提高 最长字符序列 （递归or动态规划）

最长字符序列

问题描述

　　设x(i), y(i), z(i)表示单个字符，则X={x(1)x(2)……x(m)}，Y={y(1)y(2)……y(n)}，Z={z(1)z(2)……z(k)},我们称其为字符序列，其中m,n和k分别是字符序列X，Y，Z的长度，括号()中的数字被称作字符序列的下标。
　　如果存在一个严格递增而且长度大于0的下标序列{i₁,i₂……i_k}，使得对所有的j=1,2,……k，有x(i_j)=z(j)，那么我们称Z是X的字符子序列。而且，如果Z既是X的字符子序列又是Y的字符子序列，那么我们称Z为X和Y的公共字符序列。
　　在我们今天的问题中，我们希望计算两个给定字符序列X和Y的最大长度的公共字符序列，这里我们只要求输出这个最大长度公共子序列对应的长度值。
　　举例来说，字符序列X=abcd，Y=acde，那么它们的最大长度为3，相应的公共字符序列为acd。

输入格式

　　输入一行，用空格隔开的两个字符串

输出格式

　　输出这两个字符序列对应的最大长度公共字符序列的长度值

样例输入

aAbB aabb

样例输出

2

数据规模和约定

　　输入字符串长度最长为100，区分大小写。

这个题介绍两个方法递归和动态规划，基本思想是一样的，

~如果s1，s2字符串长度分别为i，j，如果s1,s2最后一个字母字符相同，那么最大公共字符串长度必定是s1前i-1个字符和s2前j-1个字符的最大公共字串长度+1

~如果最后一个字符不相等，那么最大公共字串长度必定是（s1前i-1个字符和s2整个字串最长公共字串长度）或者（s1整个字串和s2前j-1个字符的最长公共字串长度）的最大值

1.递归方法

递归式   LCS（i，j）表示当s1长度为i，s2长度为j时最大公共字串长度

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
string s1,s2;
int LCS(int i,int j)
{
	if(i>=s1.length()||j>=s2.length())
		return 0;
	else if(s1[i]==s2[j])
		return LCS(i+1,j+1)+1;
	else
		return max(LCS(i+1,j),LCS(i,j+1));
}
int main() {
	cin>>s1>>s2;
	cout<<LCS(0,0)<<endl;
    return 0;
}

2.动态规划法

动态规划方程：dp[i][j]表示当s1长度为i，s2长度为j时最大公共字串长度

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[101][101]={{0}}; 
int main()
{
	string s1,s2;
	cin>>s1>>s2;
	for(int i=1;i<=s1.length();i++)//注意从1开始
		for(int j=1;j<=s2.length();j++)
		{
			if(s1[i-1]==s2[j-1])
				dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
			else
				dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
		}
	cout<<dp[s1.length()][s2.length()]<<endl;
	return 0;
}