证明：为什么双重argsort后能够得到各元素的排序

目标： 证明对数组 A 应用两次 argsort 操作后，得到的结果 A’’ 表示 A 中每个元素的排序位置。

前提：

• A 是原始数组。
• A' 是 A 经过 argsort() 一次后的结果。(第一次 argsort 操作)
• A'' 是 A' 经过 argsort() 再次排序后的结果。(第二次 argsort 操作)

核心概念：

• argsort (X) 返回一个索引数组，表示如果要对 X 进行排序，应该按照这个索引数组的顺序选择 X 中的元素。
• A’ 中的元素表示 A 中对应元素的排序位置。

解释

1. 第一次 argsort():

   • A'[i] = j 表示 A[j] 是 A 中的第 i 小元素。
   • 例如，假设 A = [10, -5, 20, 0]，那么 A' = [1, 3, 0, 2]。
   • A'[0] = 1 表示 A[1] (即 -5) 是 A 中最小的元素。
   • A'[1] = 3 表示 A[3] (即 0) 是 A 中第二小的元素。
   • A'[2] = 0 表示 A[0] (即 10) 是 A 中第三小的元素。
   • A'[3] = 2 表示 A[2] (即 20) 是 A 中最大的元素。

2. 第二次 argsort():

   • A''[k] = q 表示 A'[q] 是 A' 中的第 k 小元素。
   • 由于 A' 实际上包含了 A 的索引，因此 A' 的元素范围是从 0 到 |A| - 1。
   • 因为 A' 的元素值为索引值，所以就是从小到大的，所以 A' 中的元素值和其代表的排序位置是一致的。
   • 例如，如果 A' = [1, 3, 0, 2]，那么 A'' = [2, 0, 3, 1]。
     • A''[0] = 2 表示 A'[2] (即 0) 是 A' 中的最小元素。（元素值=排列位置，即 A'[q] = k）
     • A''[1] = 0 表示 A'[0] (即 1) 是 A' 中的第二小元素。
     • A''[2] = 3 表示 A'[3] (即 2) 是 A' 中的第三小元素。
     • A''[3] = 1 表示 A'[1] (即 3) 是 A' 中的第四小元素。

3. 关键洞察:

   • A''[k] = q 能够得到 A'[q] = k。
   • A'[q] = k 意味着 A[k] 是 A 中的第 q 小元素。
   • 换句话说，A[k] 的排名是 q。
   • 即 A'' [2, 0, 3, 1] 中的每个元素值，都代表了 A [10, -5, 20, 0] 中对应位置元素的排名。