一个简单的二维波动方程有限差分正演示例（均匀介质，无吸收边界条件及震源）

原创

已于 2023-09-05 14:45:22 修改 · 1.1k 阅读

9 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#conda

于 2023-09-05 10:23:10 首次发布

博客介绍二维波动方程格式及算法原理。先给出波动方程、初值条件和边界条件及解析解，接着进行网格划分，将方程离散化，包括波动方程、初值条件和边界条件的离散推导，最后提及生成动图及下一目标是实现二维声波方程的有限差分正演。

从FWI.yml文件中导入环境配置

from IPython.display import Latex
from IPython.display import HTML

二维波动方程格式

$utt(x,y,t)=uxx(x,y,t)+uyy(x,y,t),(x,y)∈Ω=(0,1)×(0,1),t∈(0,1.4)(1)u_{tt}(x,y,t)=u_{xx}(x,y,t)+u_{yy}(x,y,t),\quad (x,y)\in\Omega = (0,1)\times(0,1),t\in(0,1.4)\quad(1)$

$\sin(\pi x)\sin(\pi y),\quad u_t(x,y,0) = 0, \quad(x,y)\in(0,1)\times(0,1)\quad(2)$

$0,\quad(x,y)\in\partial \Omega\quad t\in[0,1.4]\quad(3)$

解析解为 $u(x,y,t)=cos⁡(2πt)sin⁡(πx)sin⁡(πy)u(x,y,t)=\cos(\sqrt2\pi t)\sin(\pi x)\sin(\pi y)$

算法原理

网格划分取 $=\triangle x = \triangle y = 0.01\quad \tau = \triangle t = 0.1h$ 由此，空间采样点 $N=1h=100N=\frac{1}{h}=100$ , 时间采样点 $\frac{1.4}{0.1h}= 1400$ ,令 $xi=ih,yj=jh,tk=kτ,i∈[0,N],j∈[0,N],k∈[0,M]x_i = ih,y_j =jh,t_k=k\tau,\quad i\in[0,N],j\in[0,N],k\in[0,M]$

1中（1）、（2）、（3）可离散为

$ui,jk+1=r2(ui+1,jk+ui−1,jk+ui,j+1k+ui,j−1k)+(2−4r2)ui,jk−ui,jk−1i∈[1,N−1],j∈[1,N−1],k∈[1,M−1]u_{i,j}^{k+1} = r^2(u_{i+1,j}^{k} +u_{i-1,j}^{k} +u_{i,j+1}^{k} +u_{i,j-1}^{k} )+(2-4r^2)u_{i,j}^k -u_{i,j}^{k-1}\quad i\in[1,N-1],j\in[1,N-1],k\in[1,M-1]$