二分法精解：寻找峰值与模板总结

力扣162. 寻找峰值

题目分析

• 峰值定义：nums[i] > nums[i-1] && nums[i] > nums[i+1]。
• 特殊条件：nums[-1] = nums[n] = -∞，保证数组边界的元素也可能是峰值。
• 要求 O(log n) → 使用二分查找。

思路

1. 二分查找思想

   • 中间元素 mid，判断其与右侧元素的大小关系。
   • 如果 nums[mid] < nums[mid + 1]，说明峰值在右侧 → left = mid + 1。
   • 否则峰值在左侧或就是 mid → right = mid。

2. 循环终止条件

   • 当 left == right 时，找到一个峰值，返回索引即可。

3. 为什么可行

   • 如果 nums[mid] < nums[mid + 1]，说明右侧有上升趋势，必然存在峰值（根据题目保证峰值存在）。
   • 否则，左侧或 mid 本身存在峰值。

代码

class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums) {
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] < nums[mid + 1]) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(log n)
• 空间复杂度：O(1)

学习路线

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二分法（Binary Search）详细总结

基本概念

二分法是一种在 有序数组或单调序列 中快速定位目标值或满足条件的元素的算法。
核心思想：每次通过中间元素将搜索空间缩小一半。

• 时间复杂度：O(log n)
• 空间复杂度：O(1)

二分法的核心思想

1. 定义搜索区间

   • [left, right] 或 [left, right)
   • 区间定义不同，循环条件和返回值会不同。

2. 取中点

   int mid = left + (right - left) / 2; // 防止溢出
   

3. 根据条件缩小区间

   • 如果 mid 满足条件 → 移动右边界或左边界
   • 如果 mid 不满足条件 → 移动另一边界

4. 循环终止

   • 通常是 left == right
   • 返回 left、right 或某个索引

基本模板

模板 1：查找等于目标值

int left = 0, right = n - 1;
while (left <= right) {
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if (nums[mid] == target)
        return mid; // 找到
    else if (nums[mid] < target)
        left = mid + 1;
    else
        right = mid - 1;
}
return -1; // 不存在

• 适合有序数组查找。
• [left, right] 左闭右闭。

模板 2：寻找最小/最大满足条件的值（单调性）

int left = 0, right = n; // 注意 right = n
while (left < right) {    // 左闭右开
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if (check(mid))        // mid 满足条件
        right = mid;       // 收缩右边界
    else
        left = mid + 1;    // 收缩左边界
}
return left; // 最小满足条件的值

• check(mid) 必须是 单调函数（true/false 单调变化）。
• 适合 二分答案 问题。

模板 3：浮点数二分（精度问题）

double left = 0, right = 1000;
double eps = 1e-6;
while (right - left > eps) {
    double mid = (left + right) / 2.0;
    if (check(mid))
        right = mid;
    else
        left = mid;
}
return left; // 或 right

• 用于二分 答案 或 精度问题
• eps 控制精度

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模板类型	搜索区间	循环条件	mid 更新	判断条件	返回值	适用场景	核心技巧	常见陷阱
查找目标值	[left, right] 左闭右闭	while (left <= right)	mid = left + (right-left)/2	nums[mid] == target / < / >	找到返回索引，否则 -1	有序数组查找	左闭右闭保证最后一次循环 left==right 可访问	忘记 <=，导致单元素未判断；mid溢出
寻找最小满足条件	[left, right) 左闭右开	while (left < right)	mid = left + (right-left)/2	check(mid) 是否满足条件	left 为最小满足条件	单调函数 / 二分答案	check(mid) 单调；收缩右边界 right = mid	区间收缩错成 right = mid -1，导致漏掉候选值
寻找最大满足条件	[left, right) 左闭右开	while (left < right)	mid = left + (right-left+1)/2	check(mid) 是否满足条件	left 为最大满足条件	单调函数 / 二分答案	mid +1 版本确保循环不死锁	使用 mid = (left+right)/2 导致死循环
峰值元素 / 山脉数组	[0, n-1]	while (left < right)	mid = left + (right-left)/2	比较 nums[mid] 与 nums[mid+1] 或 nums[mid-1]	left 或 right	峰值元素 / 山脉数组	利用单调趋势判断峰值方向	忘记边界条件导致数组越界；未考虑升序/降序趋势
浮点数 / 二分答案	[left, right]	while (right - left > eps)	mid = (left + right)/2	check(mid) 是否满足精度条件	left 或 right	二分答案 / 精度问题	设置 eps 精度；避免死循环	eps 太大导致精度不足；eps 太小导致死循环
旋转数组 / 特殊单调序列	[0, n-1]	while (left < right)	mid = left + (right-left)/2	根据旋转点或单调性调整	left 或 right	旋转数组查找最小值 / 最大值	判断 mid 与边界大小关系	未考虑旋转后数组单调段；边界判断错
左右边界 / lower_bound / upper_bound	[0, n]	while (left < right)	mid = left + (right-left)/2	nums[mid] >= target 或 nums[mid] > target	left 为左/右边界索引	查找数组中第一个 >= 或 > target	明确边界定义（左闭右开）	忘记加 1 / 不加 1 导致死循环或越界

核心总结

1. 区间类型

   • 左闭右闭 [left, right] → 查找目标值
   • 左闭右开 [left, right) → 二分答案 / 边界查找

2. mid 计算方式

   • mid = left + (right-left)/2 → 找最小 / 标准查找
   • mid = left + (right-left+1)/2 → 找最大 / 防死循环

3. 循环终止

   • [left, right] → while(left <= right)
   • [left, right) → while(left < right)

4. 边界处理

   • 特殊单元素、峰值、旋转数组需考虑 mid+1 或 mid-1 越界

5. 单调性分析

   • 二分法必须依赖序列或条件的单调性：升序/降序或 true/false 单调

6. 常见陷阱

   • 忘记循环条件或 mid 更新
   • 收缩区间方向错导致漏掉候选值
   • 浮点数精度过小或过大
   • 特殊边界未处理导致越界