Codeforces 392C Yet Another Number Sequence 题解&代码

最新推荐文章于 2020-09-02 17:39:09 发布

Rainbow6174

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分类专栏： codeforces 文章标签： codeforces

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本文深入探讨了一道复杂的数学题目，作者通过四个小时的努力，最终利用矩阵快速幂技巧成功解决。详细解释了从公式推导到算法实现的全过程，包括如何设置初始矩阵、单位矩阵和运用快速幂算法进行高效计算。此过程不仅展示了作者的耐心和毅力，还揭示了矩阵快速幂在解决特定类型数学问题中的强大应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这道题！我推了四个小时！公式！
不是这题真的好打击智商啊…实话，我看着别人十几分钟推完一脸轻松就觉得该AFO
好悲伤啊…数学能力果然差没得救

(i+1)^k=C(k,k)(i^k)+C(k,k-1)(i^(k-1))……+C(k,0)(i^0)
Ai(k)=Fi×(i^k)=F(i-1)(i^k)+F(i-2)(i^k)
设：
u(i,k)=F(i)(i^k)=∑C(k,j)((i-1)^j)F(i-1)+∑C(k,i)((i-1)^j)F(i-2)=∑C(k,j)u(i-1,j)+∑C(k,i)v(i-1,j)
v(i,k)=F(i-1)(i^k)=∑C(k,j)((i-1)^j)F(i-1)=∑C(k,j)u(i-1,j)
Si(n)=Si(n-1)+u(n,k)
目的是求出Si(n)，设出一个(2k+3)^2的初始矩阵和单位矩阵（表示u（size：k+1），v（size：k+1）和s（size：1）），然后矩阵快速幂就好啦

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#define MOD 1000000007LL
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=45;
LL s,ans;
int k,n,c[maxn][maxn];
struct matrix{ LL a[maxn*2][maxn*2]; };
matrix base,m;
matrix mul(matrix x,matrix y)
{
    matrix ans;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=n;j++)
    {
        ans.a[i][j]=0;
        for(int k=0;k<=n;k++)
            ans.a[i][j]+=((x.a[i][k])*(y.a[k][j]))%MOD;
        ans.a[i][j]%=MOD;
    }
    return ans;
}
void pow(LL k)
{
    while(k)
    {
        if(k&1)m=mul(m,base);
        base=mul(base,base);
        k>>=1;
    }
}
int main(void)
{
    cin>>s>>k;
    n=k*2+2;
    for(int i=0;i<=k;i++)
    {
        c[i][0]=c[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%MOD;
    }
    for(int i=0;i<=k;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            base.a[i][j]=base.a[i][j+k+1]=base.a[i+k+1][j]=c[i][j];
    base.a[n][k]=base.a[n][n]=1;
    for(int i=0;i<=n;i++)m.a[i][i]=1;
    pow(s);
    for(int i=0;i<n;i++)ans+=m.a[n][i];
    cout<<ans%MOD<<endl;
    return 0;
}