机器学习数学基础之python运算

一、什么是梯度下降法

梯度下降法（Gradient Descent，GD）是一种常用的求解无约束最优化问题的方法，在最优化、统计学以及机器学习等领域有着广泛的应用。本文将深入浅出的为读者介绍梯度下降法的原理。

假设这样一个场景：一个人需要从山的某处开始下山，尽快到达山底。在下山之前他需要确认两件事：

下山的方向
下山的距离
这是因为下山的路有很多，他必须利用一些信息，找到从该处开始最陡峭的方向下山，这样可以保证他尽快到达山底。此外，这座山最陡峭的方向并不是一成不变的，每当走过一段规定的距离，他必须停下来，重新利用现有信息找到新的最陡峭的方向。通过反复进行该过程，最终抵达山底。

这一过程形象的描述了梯度下降法求解无约束最优化问题的过程，下面我们将例子里的关键信息与梯度下降法中的关键信息对应起来：山代表了需要优化的函数表达式；山的最低点就是该函数的最优值，也就是我们的目标；每次下山的距离代表后面要解释的学习率；寻找方向利用的信息即为样本数据；最陡峭的下山方向则与函数表达式梯度的方向有关，之所以要寻找最陡峭的方向，是为了满足最快到达山底的限制条件；细心的读者可能已经发现上面还有一处加粗的词组：某处——代表了我们给优化函数设置的初始值，算法后面正是利用这个初始值进行不断的迭代求出最优解。
看到这里大家应该会发现这样一个问题：在选择每次行动的距离时，如果所选择的距离过大，则有可能偏离最陡峭的方向，甚至已经到达了最低点却没有停下来，从而跨过最低点而不自知，一直无法到达山底；如果距离过小，则需要频繁寻找最陡峭的方向，会非常耗时。要知道，每次寻找最陡峭的方向是非常复杂的！同样的，梯度下降法也会面临这个问题，因此需要我们找到最佳的学习率，在不偏离方向的同时耗时最短。