如何求First集与Follow集（超详细）

如何求First集与Follow集

已知文法如下，求First集与Follow集
$$\begin{gathered} G[E]:E\to T{E}^{\prime } \\ {E}^{\prime }\to +T{E}^{\prime }|\epsilon \\ T\to F{T}^{\prime } \\ {T}^{\prime }\to \ast F{T}^{\prime }|\epsilon \\ F\to (E)|i \end{gathered}$$

First集：

1. 第一次查看所有式子

2. 首先看第一个式子：$E\to T{E}^{\prime }$，候选式中未包含终结符，暂时无法得出结果

   当前First集：

   First(E) = { }
   First(E${}^{\prime }$) = { }
   First(T) = { }
   First(T${}^{\prime }$) = { }
   First(F) = { }

3. 第二个式子：$E^{\prime }\to +T{E}^{\prime }|\epsilon$，可以得到其所有候选式的串首终结符： +、$\epsilon$，将其加入到First(E${}^{\prime }$)中

   当前First集：

   First(E) = { }
   First(E${}^{\prime }$) = {+，$\epsilon$}
   First(T) = { }
   First(T${}^{\prime }$) = { }
   First(F) = { }

4. 第三个式子同 1，First集无变化

5. 第四个式子同 2，将 *、$\epsilon$加入到First(T${}^{\prime }$)中

   当前First集：

   First(E) = { }
   First(E${}^{\prime }$) = {+，$\epsilon$}
   First(T) = { }
   First(T${}^{\prime }$) = { *，$\epsilon$}
   First(F) = { }

6. 第五个式子：$F\to (E)|i$，将 （、i 加入到First(F)中

   当前First集：

   First(E) = { }
   First(E${}^{\prime }$) = {+，$\epsilon$}
   First(T) = { }
   First(T${}^{\prime }$) = { *，$\epsilon$}
   First(F) = { (，i}

7. 第二次查看所有式子

8. 第一个式子可得，First(T) 是First(E) ,但First(T)是空的，故无变化

   [注：参照书本58页第三行②，若有$X\to Y$,$Y$是非终结符，就把First(Y)中非$\epsilon$元素加入到First(X)中]

9. 第二个式子不能得到新的结果，下一步

10. 第三个式子可得，First(F)是First(T),故将 （ ，i 加入到First(T)
    当前First集：

    First(E) = { }
    First(E${}^{\prime }$) = {+，$\epsilon$}
    First(T) = { (，i }
    First(T${}^{\prime }$) = { *，$\epsilon$}
    First(F) = { (，i }

11. 后续式子均不能得到新的结果，下一步

12. 第三次查看所有式子

13. 第一个式子得，First(T) 是First(E)，故First集产生变化

    当前First集：

    First(E) = {(，i }
    First(E${}^{\prime }$) = {+，$\epsilon$}
    First(T) = { (，i }
    First(T${}^{\prime }$) = { *，$\epsilon$}
    First(F) = { (，i }

14. 后续式子均无法得到新的结果，求First集完毕

15. 注：理论上每次First集产生变化就要重新查看一遍所有式子，这里为了方便进行了简写，实际做题时可以按照变化一次重新求一次

Follow集：

求Follow集是在已经求出First集的基础上进行

1. 将#置入Follow(文法开始符号)，即Follow(E)

   当前Follow集：

   Follow(E) = { # }
   Follow(E${}^{\prime }$) = { }
   Follow(T) = { }
   Follow(T${}^{\prime }$) = { }
   Follow(F) = { }

2. 第一次查看所有式子

3. 从$E\to T{E}^{\prime }$可得

   • Follow(E)可以加入到Follow(E${}^{\prime }$)，将 # 置入Follow(E${}^{\prime }$)

   • Follow(E)可以加入到Follow(T)，将 # 置入Follow(T)

     [注：因为E${}^{\prime }$可能为$\epsilon$]，

   • First(E${}^{\prime }$)中非$\epsilon$元素可以加入到Follow(T)中，将 + 置入Follow(T)

     当前Follow集：

     Follow(E) = { # }
     Follow(E${}^{\prime }$) = { # }
     Follow(T) = { #，+ }
     Follow(T${}^{\prime }$) = { }
     Follow(F) = { }

4. 从$E^{\prime }\to +T{E}^{\prime }|\epsilon$ 可得

   • Follow(E${}^{\prime }$)可以加入到Follow(T)，无变化

5. 从$T\to F{T}^{\prime }$可得

   • Follow(T)可以加入到Follow(T${}^{\prime }$)，将 #、+ 置入Follow(T${}^{\prime }$)

   • Follow(T)可以加入到Follow(F)，将 #、+ 置入Follow(F)

   • First(T${}^{\prime }$)中非$\epsilon$元素可以加入到Follow(F)中，将 * 置入Follow(F)

     当前Follow集：

     Follow(E) = { # }
     Follow(E${}^{\prime }$) = { # }
     Follow(T) = { #，+ }
     Follow(T${}^{\prime }$) = { #，+ }
     Follow(F) = {#，+ ，* }

6. 从$T^{\prime }\to \ast F{T}^{\prime }|\epsilon$ 可得

• Follow(T${}^{\prime }$)可以加入到Follow(F)，无变化

7. 从$F\to (E)|i$ 可得

   • 非终结符E后有一个终结符 ）,故将 ） 置入Follow(E)

     当前Follow集：

     Follow(E) = { #，） }
     Follow(E${}^{\prime }$) = { # }
     Follow(T) = { #，+ }
     Follow(T${}^{\prime }$) = { #，+ }
     Follow(F) = {#，+ ，* }

8. 第二次查看所有式子

9. 从$E\to T{E}^{\prime }$可得

   • Follow(E)可以加入到Follow(E${}^{\prime }$)，将 ） 置入Follow(E${}^{\prime }$)

   • Follow(E)可以加入到Follow(T)，将 ） 置入Follow(T)

   • First(E${}^{\prime }$)中非$\epsilon$元素可以加入到Follow(T)中，已有+，Follow(T)无变化

     当前Follow集：

     Follow(E) = { #，） }
     Follow(E${}^{\prime }$) = { # ，） }
     Follow(T) = { #，+ ，） }
     Follow(T${}^{\prime }$) = { #，+ }
     Follow(F) = {#，+ ，* }

10. 从$E^{\prime }\to +T{E}^{\prime }|\epsilon$ 可得

• Follow(E${}^{\prime }$)可以加入到Follow(T)，无变化

11. 从$T\to F{T}^{\prime }$可以得到

• Follow(T)可以加入到Follow(T${}^{\prime }$)，将 ） 置入Follow(T${}^{\prime }$)

• Follow(T)可以加入到Follow(F)，将 ）置入Follow(F)

• First(T${}^{\prime }$)中非$\epsilon$元素可以加入到Follow(F)中，已有*，Follow(F)无变化

  当前Follow集：

  Follow(E) = { #，） }
  Follow(E${}^{\prime }$) = { # ，） }
  Follow(T) = { #，+ ，） }
  Follow(T${}^{\prime }$) = { #，+，） }
  Follow(F) = {#，+ ，*，） }

12. 从$T^{\prime }\to \ast F{T}^{\prime }|\epsilon$ 可得

• Follow(T${}^{\prime }$)可以加入到Follow(F)，无变化

13. 从$F\to (E)|i$ 并不能得到新的结果
14. 再次查看所有式子，均不能产生新的变化，求Follow集完毕
15. 注：理论上每次Follow集产生变化就要重新查看一遍所有式子，这里为了方便进行了简写，实际做题时可以按照变化一次重新求一次

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那么在已知First集和Follow集的情况下如何构造LL1分析表呢

First集与Follow集：

First(E) = {(，i }
First(E${}^{\prime }$) = {+，$\epsilon$}
First(T) = { (，i }
First(T${}^{\prime }$) = { *，$\epsilon$}
First(F) = { (，i }

Follow(E) = { #，） }
Follow(E${}^{\prime }$) = { # ，） }
Follow(T) = { #，+ ，） }
Follow(T${}^{\prime }$) = { #，+，） }
Follow(F) = {#，+ ，*，） }

LL1分析表：

第一列为非终结符，第一行为终结符

	i	+	*	(	）	#
E	E遇到 i,i $ϵ$ First(E),且E只有一个候选式，填入$E\to T{E}^{\prime }$			E遇到(,( $ϵ$ First(E),且E只有一个候选式，填入$E\to T{E}^{\prime }$
E’		+ $ϵ$ First(E${}^{\prime }$)，在E’的候选式中选择+开头的， 填入$E^{\prime }\to +T{E}^{\prime }$			First(E${}^{\prime }$)中含有$\epsilon$，故E’遇到Follow(E${}^{\prime }$)中的终结符时均填入$E^{\prime }\to \epsilon$	$E^{\prime }\to \epsilon$
T	$T\to F{T}^{\prime }$			$T\to F{T}^{\prime }$
T’		$T^{\prime }\to \epsilon$	$T^{\prime }\to \ast F{T}^{\prime }$		$T^{\prime }\to \epsilon$	$T^{\prime }\to \epsilon$
F	$F\to i$			$F\to (E)$

注：大写字母表示非终结符，小写字母与符号表示终结符

总结：

1. 当非终结符遇到其First集中的终结符时填入相应候选式
2. 当非终结符的First集中含有$\epsilon$ 元素时，遇到其Follow集中的终结符时填入 非终结符$\to \epsilon$

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