基础博弈

一、巴什博奕（Bash Game）

引入问题：有一堆n个物品，两人轮流从堆中取物品，每次取x个(1≤x≤m)。最后取光者为胜。
结论：当n%(m+1)!=0时，先手必胜。
原理：我们可以构造出n=(m+1)*t+s，(0<=s<m+1)

1. 当s!=0时，先取者拿走s个，后取者拿走k个(1<=k<=m)，那么先取者再拿走m+1-k个。结果还剩下(m+1)*(t-1)个。我们只要始终给对手留下(m+1)的倍数，那么先取者必胜。
2. 当s==0时，那么后取者必胜。

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变形问题1：有一堆n个物品，两个人轮流从中取物，规定每次取数区间[L,R]，当然如果少于L那么必须一次取完，最后取光者为败。
结论：如果0<n%(L+R)<=L，先手必败。
原理：我们可以构造出n=(L+R)*t+s，(0<=s<L+R)

1. 当0<s<=L时，先取者拿走k个(L<=k<=R)，那么后取者拿走L+R-k个，结果还剩下(L+R)*(t-1)个，当t全部取完的时候，只剩下s个，先取者没得选择只能拿走s个。。。后者只要始终给对手留下(L+R)的倍数，那么先取者必败。
2. 当s==0或者L<s<L+R，也是同一个道理，先取者先拿k个，使0<s-k<=L，然后先取者在接下来的操作中始终给对手留下(L+R)的倍数就行，到最后的时候后取者也会被迫选择s-k个，那么先取者必胜。

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变形问题2：有一堆n个物品，两个人轮流从中取物，规定每次取数区间[L,R]，当然如果少于L那么必须一次取完，最后取光者为胜。
结论：如果0<n%(L+R)<=R，先手必胜。（应该是对的。。。）
原理：我们可以构造出n=(L+R)*t+s，(0<=s<L+R)，s的分界线为R，其他同理

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题目：HDU 1846、HDU 2897

 

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