P5405 [CTS2019]氪金手游【数学概率+树形dp】

最新推荐文章于 2021-07-05 20:58:17 发布

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本文探讨了在氪金手游中通过数学概率和树形动态规划方法来计算玩家抽取角色的成功率问题。首先介绍了如何将问题转化为求每个节点比其子树节点先被抽取的概率，并给出了解决方案的具体算法实现。

P5405 [CTS2019]氪金手游【数学概率+树形dp】

先考虑外向树的情况：

这个的关键是要把求满足拓扑序的概率转化为求 每个点都比它的子树中的所有节点先取到的概率 。单个节点 $x$ 的概率是独立的，为 $\frac{w_x}{\sum_{y\in subtree(x)}w_y}$ ，答案就是所有情况下的节点概率之积的和。
记 $f [x]$ 表示 $x$ 子树内满足拓扑序的概率， $s z [x]$ 表示 $\sum_{y\in subtree(x)}w_y$ 。
可以发现每个 $f [x]$ 是只与 $x$ 的子树有关， $f[x]=\frac{w_x}{sz[x]}\prod_{x \rightarrow y} f[y]$ 。
然后就加一维 $f [x] [s z [x]]$ 就可以直接dp了。

考虑有内向边的情况：

可以用这条边可以外向也可以内向的方案数，减去这条边一定外向的方案数。
也可以容斥，记 $g [i]$ 表示至少有 $i$ 条边不满足条件的方案数。
即 $i$ 条内向边变外向边，剩下的内向边就是可以外向也可以内向。
答案就是：

至少零个条件不满足 $-$ 至少一个条件不满足 $+$ 至少两个条件不满足 $-\cdots$

时间复杂度 $O(n^2)$

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1003
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
int head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],tag[N<<1];
int sz[N],lst[N];
int a1[N],a2[N],a3[N];
ll F[N][N*3],arr[N*3];
ll inv[N*3],n,_;
ll ksm(ll x,ll y){
	ll res=1;
	while(y){ 
		if(y&1) res=res*x%mod;
		x=x*x%mod; y>>=1;
	}
	return res;
} 
void init(){
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n*3;i++) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
void add(int x,int y,int z){ nxt[++_]=head[x],head[x]=_,to[_]=y,tag[_]=z; }
void dfs(int x){
	ll *f=F[x]; f[0]=1;
	int y; 
	for(int __=head[x],y=to[__];__;__=nxt[__],y=to[__]){
		if(y==lst[x]) continue;
		lst[y]=x; dfs(y); ll *g=F[y];
		for(int i=0;i<=(sz[x]+sz[y])*3;i++) arr[i]=0;
		if(tag[__]){
			for(int i=0;i<=sz[x]*3;i++)
				for(int j=0;j<=sz[y]*3;j++)
					arr[i+j]=(arr[i+j]+f[i]*g[j]%mod)%mod;
			for(int i=0;i<=(sz[x]+sz[y])*3;i++) f[i]=arr[i];
		}
		else{
			ll now=0;
			for(int i=0;i<=sz[y]*3;i++) now=(now+g[i])%mod;
			for(int i=0;i<=sz[x]*3;i++) arr[i]=(f[i]*now)%mod;
			for(int i=0;i<=sz[x]*3;i++)
				for(int j=0;j<=sz[y]*3;j++)
					arr[i+j]=(arr[i+j]-f[i]*g[j]%mod+mod)%mod;
			for(int i=0;i<=(sz[x]+sz[y])*3;i++) f[i]=arr[i];
		}
		sz[x]+=sz[y];
	}
	for(int i=0;i<=sz[x]*3+3;i++) arr[i]=0;
	for(int i=0;i<=sz[x]*3;i++){
		arr[i+1]=(arr[i+1]+f[i]*a1[x]%mod*inv[i+1]%mod)%mod;
		arr[i+2]=(arr[i+2]+f[i]*a2[x]%mod*inv[i+2]*2ll%mod)%mod;
		arr[i+3]=(arr[i+3]+f[i]*a3[x]%mod*inv[i+3]*3ll%mod)%mod;
	}
	sz[x]++;
	for(int i=0;i<=sz[x]*3;i++) f[i]=arr[i];
//	cout<<'\n'; 
}
int main(){
//	freopen("fgo9.in","r",stdin);
	cin>>n;
	init();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a1[i]>>a2[i]>>a3[i];
		ll now=ksm(a1[i]+a2[i]+a3[i],mod-2);
		a1[i]=a1[i]*now%mod;
		a2[i]=a2[i]*now%mod;
		a3[i]=a3[i]*now%mod;
//		cout<<a1[i]<<' '<<a2[i]<<' '<<a3[i]<<'\n';
	}
	int u,v;
	for(int i=1;i<n;i++) cin>>u>>v,add(u,v,1),add(v,u,0);
	dfs(1);
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<=sz[1]*3;i++) (ans+=F[1][i])%=mod;
	cout<<ans;
}