本文介绍了如何将最小费用最大流问题转化为线性规划，并详细解析了其对偶问题。通过转换，作者展示了如何从原问题推导出对偶线性规划，并解释了在最优化过程中，如何利用对偶问题寻找最小费用。最后，讨论了求解最小费用最大流的算法复杂性和策略，包括使用三分法寻找最小成本与总流量的平衡。
CF1307G Cow and Exercise
记 S S S 为源点， T T T 为汇点，流量为 F F F ，费用为 c o s t cost cost ， f u v f_{uv} fuv 表示 u u u 到 v v v 的实际流量， c u v c_{uv} cuv 表示 u u u 到 v v v 的流量限制， w u v w_{uv} wuv 表示 u u u 到 v v v 的边权。
那么最小费用的线性规划形式则为
m i n { ∑ f u v w u v } { f u v ≤ c u v / / 流 量 限 制 ∑ v f v u − ∑ v f u v = 0 ( u ≠ S , T ) / / 流 量 平 衡 ∑ v f v S − ∑ v f S v = − F ∑ v f v T − ∑ v f T v = F f u v ≥ 0 min\{\sum f_{uv}w_{uv} \} \\ \begin{cases} f_{uv}\le c_{uv} &//流量限制 \\ \sum_v f_{vu}-\sum_v f_{uv}=0\ \ (u\ne S,T)\ \ &//流量平衡 \\ \sum_v f_{vS}-\sum_v f_{Sv}=-F \\ \sum_v f_{vT}-\sum_v f_{Tv}=F \\ f_{uv}\ge 0 \end{cases} min{
∑fuvwuv}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧fuv≤cuv∑vfv
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