论证量子计算版《桃花源记》：找得到出口，留不下路标

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原创最新推荐文章于 2026-11-07 18:22:33 发布 362 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

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文丨恩里科排版丨恩里科

行业动向：4000字丨10分钟阅读

##量子前哨 ##量子计算

既出，得其船，便扶向路，处处志之。及郡下，诣太守，说如此。太守即遣人随其往，寻向所志，遂迷，不复得路。 ——陶渊明《桃花源记》

《桃花源记》里，渔人误入桃花源，出来时一路“处处志之”。可太守派人循着记号再去，“遂迷，不复得路”。去过的地方，却留不下一条能让后来人跟着走的路。

在量子计算里面也会遇到这样一座迷宫，这座迷宫中，量子算法找出口，比任何经典算法都快得多；可要它再给出一条从入口到出口的路线，却难上加难。这是已知算法的局限，还是换一种量子算法也绕不过去？

2026年9月，两组研究者分别在arXiv上发布预印本，为这个延续了20多年的问题给出了答案：换任何量子算法也绕不过去。要以稳定的成功率找出路线，所需的查询次数会随迷宫的深度指数增长。

找到出口可以很快，留下路线却很难。这座迷宫究竟有什么特别？

一座让经典算法迷路的迷宫

设计这座迷宫的，是美国马里兰大学计算机系教授Andrew Childs。2003年，他与另外5位学者在美国计算机学会计算理论年会STOC上发表论文《Exponential algorithmic speedup by a quantum walk》，意为“量子游走带来的指数级算法加速”，提出了“焊接树”（welded tree）问题。23年后，他也亲自以一篇文章回答了这道难题。

最初设计问题，是为了寻找量子加速的另一条路。当时，以Shor算法为代表的一批量子算法，借助量子傅里叶变换提取隐藏的周期等结构。Childs等人想知道：换用量子游走，也就是让量子态沿着图的各条边同时扩散开去，能不能同样获得指数级加速？他们需要一个能严格比较量子与经典算法的问题，他们为此设计了焊接树。

取两棵同样高的二叉树，除最底层外，每个节点向下分出两个，长到第n层，各有2ⁿ片叶子。把两棵树的叶子面对面摆好，再用一条随机的线在两边叶子之间来回穿行，把所有叶子串成一个环：每片叶子都连到对面的两片叶子上。这样，除了两个树根，每个顶点都恰好连着3条边。一棵树的根是入口，另一棵树的根是出口。

这座迷宫是“蒙着眼”走的。所有顶点都被打上随机编号，算法看不到全图，只能拿着一个编号去问：“它的邻居是谁？”每问一次，算作一次查询。任务是从入口出发，报出出口的编号。量子算法可以用量子的方式去问：对多个顶点编号的叠加态进行一次查询，得到的回答也是叠加态。这并不等于一次读出所有邻居，但能让不同的计算分支保持相干，在后面的演化中相互干涉。

图1　焊接树（n=3）：蓝色为入口，绿色为出口，红色为两棵树的叶子，叶子之间的连线即焊接图源：Miloschewsky, Podder, arXiv 2026

为什么还要随机焊接？这座迷宫的前身，是两棵在叶子处直接粘合的二叉树。早期研究发现，量子游走穿过它的速度，比经典随机游走快得多。经典随机游走，就是每到一个路口随便选一条路走。但比经典随机游走快，还不等于比所有经典算法都快：更聪明的经典算法仍能高效找到出口。研究者于是改造了叶子之间的连接方式，用随机焊接构造出一道任何经典算法都无法高效解决的题目。

从入口往下走很容易，每走一步都在远离入口；一旦进入焊接区，随机连线把方向全打乱了，四周的顶点看起来一模一样，而这一带的顶点数量是2ⁿ量级。单凭局部的邻居信息，经典算法很难看出哪条边通向出口。2003年的论文证明，任何经典算法要找到出口，所需查询次数都随树高指数增长。

量子游走算法所需的查询次数却只随树高按多项式增长，远慢于经典算法的指数增长。量子游走这条新路，由此第一次被严格证明走得通：在这个问题上，量子游走相对任何经典算法都具有指数级优势。

后来，焊接树还成了研究其他量子计算问题的一块基础积木：有研究借助它证明，某些量子加速需要足够深、也就是层数足够多的量子电路；另一些工作则用它探索优化和机器学习中的量子优势。

量子游走：把整座迷宫压成一条直线

量子算法走迷宫，用的是“量子游走”（quantum walk），也有文献称作量子随机游走。经典的随机游走（random walk）每一步只能选一条路；在迷宫入口激起一阵波动，让它沿不同通道传播，不同路径上的波在相遇处叠加，有的地方相互加强，有的地方相互抵消。

要看清波怎样穿过迷宫，可以先把顶点按“离入口几步”分层：入口是第0层，入口下面两个顶点是第1层，依次往下，经过焊接区，再往上收拢到出口，一共2n+2层。

从入口出发的波有个特点：同一层的所有顶点上，波的振幅始终相同，连相位也一致。原因在于分层结构：同一层的每个顶点，连向前后相邻两层的边数都相同。以入口一侧的树为例，每个顶点都向入口方向连1条边、向出口方向连2条边；到了焊接区，每片叶子都向对面连2条边；出口一侧的树则正好反过来。站在同一层的任何一个顶点上，往前往后看到的路况都一模一样，波没有理由偏向其中哪一个。

于是，就这次从入口出发的演化而言，这张有指数多个顶点的图，等效成一条只有2n+2格的直线。波沿这条线传播，从入口到出口只需要多项式时间。这是分析演化的方法，算法本身并不知道每个顶点在第几层。随机焊接让局部探索难以辨认方向，却保留了这种分层结构。借助干涉，量子游走能在多项式时间内通过测量找到出口。

图2　经典随机游走与量子游走：左边的小人在焊接区的岔路间打转；右边同一层的顶点颜色相同，代表波的振幅一样，波逐层推进、在出口汇聚；右下为量子游走眼中等效的一条直线

找到出口之后，怎样把路线写下来？

既然波走过了所有的路，能不能顺便报出其中一条？

这条路其实很短：往下走n步，跨过一条焊接边，再往上走n步，一共只有2n+1步。难的不是路长，而是在只能一次次询问邻居的条件下，找出这些顶点的编号。而且要的只是任意一条通路，不必是量子游走“走过”的那条。

2003年的论文就提到了这个问题，却没有给出答案；2021年，它还被列入量子查询复杂度的重要待解问题清单。

直觉上，答案并不乐观。最直接的办法是边走边记，可对已知的量子游走，一旦保留能区分路径的记录，同一层的顶点就被区分开了，各条路上的波不再相互干涉，指数加速随之消失。论文把这称作计算版的双缝实验：只要去探测电子走的是哪条缝，干涉条纹就会消失。

已知的高效量子算法都卡在这一步，至于有没有更聪明的算法能绕过去，这个问题悬了20年。

2023年，Childs与同在马里兰大学的Matthew Coudron、Amin Shiraz Gilani在理论计算机会议ITCS上发表论文《Quantum algorithms and the power of forgetting》，意为“量子算法与遗忘的力量”。

他们证明，有一类“自然”的量子算法可以被经典计算机高效模拟，因此无法高效找到路径：这类算法在同时走的每一条路上，都始终保存一组与入口连通的顶点，也只拿这些顶点去查询。此前提出的量子蛇行走（snake walk）方案，其一些自然实现就属于这一类：让算法始终保存图上一小段路径，像一条蛇在迷宫里边爬边记。论文题目所说的“遗忘”，指向的正是这种矛盾：始终保存与入口相连的记录，可能成为量子加速的障碍。

但别的算法不必守这些规矩，比如先用量子游走找到出口，从入口和出口分别探索，再设法把两端找到的路径连接起来，最后接上。这类策略当时还无法排除。

2026年9月22日，Childs、Coudron、Gilani与同在马里兰大学的Joseph Carolan发布预印本《A quantum lower bound for path finding in welded trees》，意为“焊接树找路问题的量子下界”，把结论推广到了所有量子算法。他们把焊接方式稍作调整，改由3组相互独立的随机配对拼成，并证明在这样的焊接树上，任何量子算法要以常数成功概率，也就是不随迷宫变大而趋近于零的成功率，找出路径，所需查询次数都至少随树高指数增长。

证明用的工具是Carolan此前在STOC 2026上提出的compressed permutation oracle。它脱胎于密码学：密码学家用这类方法分析量子攻击者反复查询一个加密组件后能学到什么，已用它证明一些以往难以分析的密码构造能够抵御量子攻击。在焊接树上，它像一台记录仪，记下量子算法每次查询掌握了迷宫的哪些信息。这台记录仪只存在于证明的数学推演里，并不真的在计算途中测量。作者证明了，查询次数不够多时，这份记录里几乎不会出现完整的路径；而每次查询只让记录增长一点，要获得足以确定一条完整路径的信息，就需要指数级的查询次数。

几乎同时，纽约州立大学石溪分校的David Miloschewsky与Supartha Podder在预印本《Hardness of Pathfinding in a Welded Tree》中独立证明了同一结论，标题意为“焊接树中找路的困难性”。他们的论文比马里兰组早5天发布，同样给出了指数级的查询下界，焊接方式也更接近2003年的原始设定。他们同样用到了Carolan的工具，还把"遗忘"的过程刻画了出来：量子游走的记录里只留下此刻所在的位置，上一步的痕迹随走随擦，不同的计算分支才能相互干涉。

一个悬了20多年的问题，就在同一个月里被两组人分别解开，而且两组都声明借助了AI。马里兰组表示，证明的整体思路由人完成，GPT-6在后期参与构思，找出并修正了一处关键引理证明中的错误，写作也借助了GPT-6和Claude Opus 5。石溪组表示，ChatGPT 6 及其早期版本为部分证明找到了更简洁的写法，本文图1也由它绘制。

难的不是解释，是给出路线

读到这里，很多人会想到大模型：它也常常给出答案，却说不清为什么。但两者难在不同的地方。大模型的参数和中间结果都能记录下来，难的是读懂；焊接树上的量子游走为什么有效，前面那条2n+2格的直线已经解释清楚，难的是高效输出一条连通入口和出口的路径。

有结果无路径，这是某种算法的局限，还是所有量子算法都面临的困难？答案是，它是量子计算在这一类迷宫上的限制：不是某个算法不够聪明，因为下界对所有量子算法都成立；但也不是量子计算处处如此。

美国莱斯大学的Jianqiang Li与荷兰数学与计算机科学研究所Centrum Wiskunde & Informatica的Sebastian Zur，专门设计过另一种焊接树迷宫，每个顶点同样只连3条边。在那张图上，量子算法用多项式次查询就能找出完整路径，经典算法则需要指数次。相关论文2025年发表在《Quantum》上。路能不能找出来，取决于迷宫怎么设计。

对经典随机游走，边走边记，到出口时就留下了路线。焊接树打破了这个常识：拿到出口编号后，只需查询它的邻居，就能验证它是不是出口，除入口外，它是唯一只连着两条边的顶点；可要输出一条通往出口的路径，任何量子算法都需要指数级的查询次数。

马里兰组在论文中指出，焊接树暗示着“知道有一条路”和“把路找出来”之间，可能存在巨大的难度差距。在焊接树上，量子算法能高效做到前一件，却被证明无法高效完成后一件。