线性DP-最长上升子序列

题意

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式

第一行包含整数 N。

第二行包含 N 个整数，表示完整序列。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

1≤N≤1000
−109≤数列中的数≤109

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

分析 

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;

int a[N],dp[N];

int main(){
	std::ios::sync_with_stdio(false),std::cin.tie(nullptr);
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++){
			if(a[j]<a[i])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
		}
	}
	int res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,dp[i]);
	cout<<res;
	return 0;
}

数据升级

1≤N≤100000
−109≤数列中的数≤109

发现冗余性质

1.上升子序列种同样长度下，末尾数越小越好（范围更大）；例如长度为5的序列，末尾是7比末尾是9好，后续8可以加7后面，而不可以加9后面。

2.可以证明（反证法），不同长度下的最长子序列的结尾的值，随长度呈现严格单调递增。

思路

先找到（二分查找）前i个数中小于a[i]的最大值（其所在的长度最大），随后更新长度+1对应的末尾值为a[i]。

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],q[N];//q[i]储存长度为i的序列末尾值。

int main(){
	std::ios::sync_with_stdio(false),std::cin.tie(nullptr),std::cout.tie(nullptr);
	int n,len=0;
	q[0]=-2e9;//哨兵，设置一开始的“末尾值”存在。
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int l=0,r=len;
		while(l<r){
			int mid=l+r+1>>1;
			if(q[mid]<a[i])l=mid;
			else r=mid-1;
		}
		len=max(len,r+1);
		q[r+1]=a[i];
	}
	cout<<len<<endl;
}