【论文精读】量子退火启发的时空编码超表面优化

概要：本研究提出量子退火启发的时空编码超表面优化算法，将散射问题转化为二进制自旋模型，用模拟分岔（SB）算法求解。与遗传算法、量子启发遗传算法等算法相比，SB 算法单次运行速度快约 6-40 倍，目标时间（TTT）快约 200-4000 倍，且单次运行必达目标解，其他算法成功率低。其复杂度呈多项式增长，可扩展性良好，在单波束、多波束控制及波形设计中均表现优异，显著推动时空编码超表面实用化。

一、研究背景

在电磁波操控领域，超表面通过亚波长单元实现对幅度、相位和极化的精准控制，已广泛应用于波束形成、滤波等场景。随着技术发展，超表面引入了时空编码和时变调制超表面等概念，突破了传统超表面的能力局限，为动态和频率捷变的电磁波操控提供了可能。

然而，时空编码超表面的优化面临严峻挑战。其优化属于离散组合问题，时间维度的加入使计算复杂度呈指数增长，传统算法如遗传算法（GA）、模拟退火（SA）在处理大规模问题时，计算成本过高，难以满足实际应用需求。因此，开发高效优化方法成为推动时空编码超表面实用化的关键。

针对这一挑战，本论文提出了一种专为时空编码超表面优化量身定制的新型量子退火启发算法，主要贡献如下：

1. 将时空编码超表面的散射问题重新表述为二进制自旋模型，其中任意离散化的相位状态被编码为自旋，自旋间的相互作用则体现超表面元素的时空合成效应；

2. 根据特定的优化目标开发针对所需散射模式的适应度函数，实现谐波频率下的任意角谱控制，再利用加速的量子启发模拟分岔（SB）算法求解器高效求解；

3. 通过单波束控制、多波束控制以及任意谐波频率下的波形设计等多个典型示例，验证了该方法的有效性。与遗传算法（GA）、量子启发遗传算法（QGA）和模拟退火（SA）相比，可显著提高优化效率，同时能提供高质量的解决方案，大幅减少计算时间。

通过显著减少的计算工作量提供高质量解，克服了传统方法的局限性。这一贡献不仅实现了时空编码超表面的快速波束操控，还拓宽了在动态通信系统中的适用性，同时该方法可以为将量子启发退火技术应用于更广泛的时变电磁问题提供灵感，包括时变调制天线阵列和光子时间晶体。

二、原理介绍

2.1 二进制自旋模型

二进制自旋模型受伊辛模型启发，可表示为：

$$H=-\sum _{i=1}^{\mathcal{N}}\sum _{j=1}^{\mathcal{N}}{J}_{ij}{s}_i{s}_j$$

其中，$s_i$表示系统状态的二进制自旋（即图1中的自旋向上或向下），$J_{ij}$表示自旋 $s_i$和$s_j$之间的耦合或相互作用，$H$是系统的哈密顿量或能量函数，$N$表示自旋的总数。

求解该二进制自旋模型，就是要找到一种自旋$s_i$的排列方式，让系统处于能量最低的状态，这种找最优的过程，可以转化成二次无约束二进制优化（QUBO）问题。由于二进制自旋模型可用量子退火机或量子启发的算法高效求解，因此波束形成问题也可转换为QUBO模型快速求解。

图1直观展示了优化过程能量（即哈密顿量）的演变。自旋配置A、B、C分别对应优化开始、进行中和结束时的自旋状态：从能量为$H_0$的状态和配置A开始，在优化中途达到配置B的局部最优状态，最终实现最佳配置C，产生最低能量即找到全局最优解。

图1 二元自旋模型的哈密顿量在整个优化过程中变化，从初始自旋构型(A)过渡到局部最小值(B)，最终过渡到全局最小值©。

2.2 时空编码超表面的散射

图2 由现场可编程门阵列（FPGA）控制的快速时空编码超表面，使得每个超原子的激励能够随时间变化，从而能够在不同的谐波频率下对波进行精确控制。

由现场可编程门阵列（FPGA）控制的时空编码超表面的散射，每个超原子的激励随时间变化，进而实现不同谐波频率下的波束控制，这一点可通过傅里叶变换体现。

如图2所示，对于中心频率$f_c$的垂直入射波，可以$f_c$处产生异常反射波，在谐波频率$f_c+f_0$处产生垂直反射波，甚至在谐波频率$f_c-f_0$处产生复杂波形。在不失一般性的情况下，在具有时间谐波依赖性$e^{j2\pi f_{c}t}$的平面波垂直入射下，放置在xOy平面的时空编码超表面的时变散射模式可表示为：

$$f(\theta ,\phi ,t)=\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^M{E}_{mn}(\theta ,\phi ){\Gamma }_{mn}(t)e^{j\left(k_{x}md+k_{y}nd\right)}$$

其中，$E_{mn}(\theta ,\phi )$表示中心频率$f_c$处第$(m,n)$个元件的远场方向图，$j$是虚数单位，参数$d$表示沿$x$和$y$方向的元件间距，$k_x$和$k_y$是沿$x$和$y$轴的波数，${\Gamma }_{mn}(t)$是第$(m,n)$个元件的时变调制反射系数，假设${\Gamma }_{mn}(t)$是时间的周期函数，在一个周期内定义为移位脉冲函数的线性组合：

$${\Gamma }_{mn}(t)=\sum _{l=1}^L{\Gamma }_{mn}^l{U}_{mn}^l(t)$$

其中，$U_{mn}^l(t)$是具有调制周期$T_0$的周期脉冲函数，在每个周期内，$U_{mn}^l(t)$定义为：

$$U_{mn}^l(t)=\{\begin{array}{l}1,(l-1)\tau \le t\le l\tau \\ 0,otherwise\end{array}$$

这里，$\tau =T_0/L$表示$U_{mn}^l(t)$的脉冲宽度，其中$L$是时间编码序列的长度，${\Gamma }_{mn}^l$ 表示中心频率下第$(m,n)$个编码元件在区间 $[(l-1)\tau ,l\tau ]$ 内的反射系数。

通过对 $U_{mn}^l(t)$ 应用傅里叶变换得到：

$$U_{mn}^l(t)=\sum _{h=-\infty }^{\infty }{c}_{mn}^{hl}{e}^{j2\pi h{f}_{0}t}$$

其中，$f_0=1/T_0$，$h$是谐波频率的索引，系数 $c_{mn}^{hl}$ 由下式给出：

$$c_{mn}^{hl}=\frac{1}{T_0}{\int }_0^{T_0}{U}_{mn}^l(t)e^{-j2\pi h{f}_{0}t}dt$$

因此，周期函数 ${\Gamma }_{mn}(t)$ 的傅里叶级数系数 $a_{mn}^h$ 可以写成：

$$\begin{array}{rl}{a}_{mn}^h& =\sum _{l=1}^L{\Gamma }_{mn}^l{c}_{mn}^{hl}=\sum _{l=1}^L\frac{{\Gamma }_{mn}^l}{T_0}{\int }_{(l-1)\tau }^{l\tau }{e}^{-j2\pi h{f}_{0}t}dt\\ & =\sum _{l=1}^L\frac{{\Gamma }_{mn}^l}{L}\text{sinc}\left(\frac{\pi h}{L}\right)\exp \left[\frac{-j\pi h(2l-1)}{L}\right]\end{array}$$

最后，时空编码超表面在第$h$次谐波频率 $f_c+h{f}_0$ 处的远场散射场由下式给出：

$$\begin{array}{c}{F}^h(\theta ,\phi )=\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^M\sum _{l=1}^L{\Gamma }_{mn}^l/L\text{sinc}\left(\frac{\pi h}{L}\right)E_{mn}(\theta ,\phi )\times e^{j\left[k_{x}md+k_{y}nd-\pi h(2l-1)/L\right]}\end{array}$$

在这项工作中，单个超原子的远场散射场$E_{mn}(\theta ,\phi )$被假设为余弦分布，和带反射板的偶极天线的散射特性类似，因此统一用$E(\theta ,\phi )$来表示。另外，在波束形成过程中，这里只考虑纯相位调制，也就是说$|{\Gamma }_{mn}^l|=1$。

2.3 将散射问题映射到二进制自旋模型

要把时空编码超表面的散射特性转化为二进制自旋模型，需要先分析其功率方向图。

反射波的功率分布表示为：

$$\begin{array}{c}{P}^h(\theta ,\phi )=|E(\theta ,\phi ){|}^2\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^M\sum _{l=1}^L\sum _{v=1}^N\sum _{u=1}^M\sum _{i=1}^L{\Gamma }_{mn}^l{\Gamma }_{uv}^i/L^2\\ {\text{sinc}}^2\left(\frac{\pi h}{L}\right)e^{j\left[k_x(m-n)d+k_y(u-v)d-2\pi h(l-i)/L\right]}\\ =\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^M\sum _{l=1}^L\sum _{v=1}^N\sum _{u=1}^M\sum _{i=1}^L{\Gamma }_{mn}^l{\Gamma }_{uv}^i{A}_{mnuv}^{li}\end{array}$$
其中，$A_{mnuv}^{li}$的表达式为：
$$\begin{array}{c}{A}_{mnuv}^{li}=|E(\theta ,\phi ){|}^2/L^2{\text{sinc}}^2\left(\frac{\pi h}{L}\right)\times \\ e^{j\left[k_x(m-n)d+k_y(u-v)d-2\pi h(l-i)/L\right]}\end{array}$$

为表达简洁，$A_{mnuv}^{li}$的符号上未显示谐波次数$h$，但已嵌入其表达式中，因此该公式与二进制自旋模型的结构一致：自旋之间的相互作用不仅考虑了不同空间位置天线之间的互相作用，还纳入了时间维度的变化，形成了一个$M\times N\times L$的等效阵列。

举个具体的例子：在$h$次谐波频率下，让能量集中到特定角度$({\theta }_0,{\phi }_0)$，对于最简单的1位离散情况，对应的哈密顿量可以表示为：

$$\begin{array}{c}{H}_{BF}=-P^h\left({\theta }_0,{\phi }_0\right)=-\sum _{p=1}^{N_s}\sum _{q=1}^{N_s}{\Gamma }_p{\Gamma }_q{A}_{pq}^h\\ =-\sum _{p=1}^{N_s}\sum _{q=1}^{N_s}{s}_p{s}_q{J}_{pq}\end{array}$$
其中，$N_s=M\times N\times L$表示等效天线总数，$p$和$q$的数量和自旋数量相等，与角度相关的项嵌入在$k_x$和$k_y$中。1位离散情况的映射很直接：超原子的相位表示${\Gamma }_p$直接对应于自旋的状态$s_p$（向上为 1，向下为-1）。因此，二进制自旋模型中的$J_{pq}$就等于$A_{pq}^h$。

2.4 任意位的相位编码方法

对于更高位的情况，${\Gamma }_{mn}^l$不再局限于$1$或$-1$，使得直接编码不切实际，为此可引入编码矩阵将相位映射到自旋。通常$n_{bit}$位的超原子至少需要$n_{bit}$个自旋来描述其相位，因此$n_{bit}$时空编码超表面的散射需要$M\times N\times L\times n_{bit}$个自旋来描述。

以$2$位问题为例，单个超原子的相位可取$-j,-1,j,1$中的值，需用2个自旋编码其相位，可表示为${\Gamma }_1=c_1{s}_1+c_2{s}_{1+N_s}$，其中$c_1=\frac{1+j}{2}$且$c_2=\frac{1-j}{2}$。

对于特定的波束形成角度$({\theta }_0,{\phi }_0)$，2位情况的哈密顿量变为：

$$\begin{array}{c}{H}_{BF}=-P^h\left({\theta }_0,{\phi }_0\right)=-c_1{c}_1^{\ast }\sum _{p=1}^{N_s}\sum _{q=1}^{N_s}{s}_p{s}_q{A}_{pq}^h-\\ c_1{c}_2^{\ast }\sum _{p=N_s+1}^{2N_s}\sum _{q=1}^{N_s}{s}_p{s}_q{A}_{pq}^h-c_2{c}_1^{\ast }\sum _{p=1}^{N_s}\sum _{q=N_s+1}^{2N_s}{s}_p{s}_q{A}_{pq}^h-\\ c_2{c}_2^{\ast }\sum _{p=N_s+1}^{2N_s}\sum _{q=N_s+1}^{2N_s}{s}_p{s}_q{A}_{pq}^h=\sum _{p=1}^{2N_s}\sum _{q=1}^{2N_s}{s}_p{s}_q{J}_{pq}\end{array}$$

其中*是共轭运算符，$J_{pq}$可简化为：

J p q = c α c β ∗ A p q h , α , β ∈ { 1 , 2 } , p ∈ [ ( α − 1 ) N s + 1 , α N s ] , q ∈ [ ( β − 1 ) N s + 1 , β N s ] \begin{aligned} J_{p q} & =c_{\alpha} c_{\beta}^{*} A_{p q}^{h}, \alpha, \beta \in\{1,2\}, \\ p & \in\left[(\alpha-1) N_{s}+1, \alpha N_{s}\right], \\ q & \in\left[(\beta-1) N_{s}+1, \beta N_{s}\right] \end{aligned} Jpq​pq​=cα​cβ∗​Apqh​,α,β∈{1,2},∈[(α−1)Ns​+1,αNs​],∈[(β−1)Ns​+1,βNs​]​

在2位情况下，总共有$2N_s$个自旋和$2N_s\times 2N_s$个自旋-自旋相互作用$J_{pq}$。对于更高位的情况，从相位到自旋的映射和相应的系数变得不太明确，需要使用高级编码技术。

对于任意位问题可以使用矩阵表示来推广。例如在2位情况下，编码可以表示为$Sc=p$，用以下矩阵形式表示：

$$S=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\\ -1& 1\\ -1& -1\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right],p=\left[\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\\ \pi \\ \frac{3\pi }{2}\\ 2\pi \end{array}\right]$$

其中，$S$是编码矩阵，$c$是待确定的编码系数向量，$P$表示离散化的相位。可以看出$S$的下半部分仅是其上半部分的负数，同样，$P$向量的下半部分也是其（指数形式下）上半部分的负数。因此矩阵可以简化为：

$$S=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{l}{c}_1\\ c_2\end{array}\right],p=\left[\begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\ \pi \end{array}\right]$$

这种方法确保$S$是满秩矩阵，允许使用矩阵求逆唯一求解$c$。然而对于更高位的情况如3位问题，$S$不是满秩矩阵，而是$4\times 3$矩阵，有必要添加第四列以使$S$满秩以求解$c$。

推广到任意$n_{bit}$位时，需用$n_{bit}$个自旋描述超原子相位，且需通过添加$n_{bit}$个自旋的乘积作为额外列使矩阵$S$满秩。对于$n_{bit}$问题，需填充$2^{n_{bit}-1}-n_{bit}$列，如此任意位数的相位编码均可构造，且高阶二进制自旋模型可用相应的降阶方法求解。

2.5 适应度函数构建

当任意位的单角度散射问题被映射为二进制自旋模型后，就能通过简单的角度积分构建用于远场操控所需的各类适应度函数。这种方法可以在任意谐波频率下，设计出不同功率强度的角度范围——比如让某些方向的散射较强，而其他方向较弱。

更一般地，这一思路可通过每个谐波函数的立体角积分来实现。具体而言，只需将前文公式中的$A^h$替换为${\hat{A}}^h$（针对谐波$h$）：

$${\hat{A}}^h=\sum _n{w}_n^h\left({\int }_{{\Omega }_n^h}{A}^{h}d\Omega \right)$$

其中，${\Omega }_n^h$表示第$n$个具有谐波索引$h$的立体角范围，$w_n^h$是相应的权重，对于所有谐波操控，我们可以将$A^h$替换为：

$$\hat{A}=\sum _h{\hat{A}}^h=\sum _h\sum _n{w}_n^h\left({\int }_{{\Omega }_n^h}{A}^{h}d\Omega \right)$$

通过给$w_n$分配正负号，能控制目标角度范围内是增强波束（波束形成）还是减弱波束（波束抑制），而$w_n$的幅度则决定了这种效果的强弱。因此，利用这个适应度函数，可根据实际需求，通过所提方法操控任意谐波在任意远场角度范围内的功率方向图。

需要注意的是，对于复杂问题（如多波束形成或复杂辐射方向图合成），权重调整尤为关键。这类任务中，哈密顿量对自旋配置的变化非常敏感，权重或参数的微小改动就可能导致目标函数大幅波动，这与模拟分岔（SB）算法本身对误差的敏感性相关。

三、量子启发优化算法

3.1 SB优化器

（1）算法基础与量子哈密顿量

针对二进制自旋问题，最近提出了一种基于克尔非线性参数振荡器（KPO）网络的量子绝热优化方法，量子哈密顿量表示为：

$$\begin{array}{rl}{H}_q(t)& =\hslash \sum _{i=1}^N\left[\frac{K}{2}{\hat{a}}_i^{†2}{\hat{a}}_i^2-\frac{p(t)}{2}\left({\hat{a}}_i^{†2}+{\hat{a}}_i^2\right)+{\Delta }_i{\hat{a}}_i^{†}{\hat{a}}_i\right]-\hslash {\xi }_0\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{J}_{i,j}{\hat{a}}_i^{†}{\hat{a}}_j\end{array}$$

其中，$\hslash$是约化普朗克常数，${\hat{a}}_i^{†}$和${\hat{a}}_i$分别是第$i$个振荡器的产生和湮灭算符，$†$表示厄米算符。在此背景下，$K$是正克尔系数，$p(t)$是时变参数双光子泵浦幅度，${\Delta }_i$是第$i$个振荡器的共振频率与泵浦频率一半之间的正失谐频率，${\xi }_0$是具有频率维度的正常数，项 $J_{ij}$表示如前所述从天线合成获得的自旋-自旋相互作用。

（2）量子绝热分岔过程

初始时，每个KPO处于真空状态，泵浦幅度$p(t)$从零逐渐增至足够大值；常数${\xi }_0$取极小值，使真空状态为初始哈密顿量基态。通过量子绝热分岔过程，每个KPO最终过渡到正/负幅度的相干状态，第$i$个$KPO$最终幅度的符号决定二进制自旋模型基态的第$i$个自旋（由量子绝热定理保证）。

（3）经典近似与哈密顿量简化

经典近似中，${\hat{a}}_i$的期望值表示为复幅度$x_i+i{y}_i$（$i$为虚数单位），实部$x_i$、虚部$y_i$为正则共轭变量，类似于位置和动量，经典哈密顿量及运动方程表示为：

$$\begin{array}{rl}& H_c(x,y,t)=\\ & \sum _{i=1}^{N_s}\left[\frac{K}{4}{\left(x_i^2+y_i^2\right)}^2-\frac{p(t)}{2}\left(x_i^2-y_i^2\right)+\frac{{\Delta }_i}{2}\left(x_i^2+y_i^2\right)\right]+\frac{{\xi }_0}{2}{H}_{BF}\end{array}$$

其中，$H_{BF}$是为波束形成问题设计的哈密顿量，为了实现快速数值求解，方程简化为：

$$\begin{array}{rl}& H_{SB}(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N_s}\frac{\Delta }{2}{y}_i^2+V(x,t)=\\ & \sum _{i=1}^{N_s}\frac{\Delta }{2}{y}_i^2+\sum _{i=1}^{N_s}\left[\frac{K}{4}{x}_i^4+\frac{\Delta -p(t)}{2}{x}_i^2\right]+\frac{{\xi }_0}{2}{H}_{BF}\end{array}$$

（4）运动方程与求解方法

根据正则共轭变量的性质，$x_i$和$y_i$的时间导数为：

$${\dot{x}}_i=\frac{\partial H_{SB}}{\partial y_i}=\Delta y_i$$

$${\dot{y}}_i=-\frac{\partial H_{SB}}{\partial x_i}=-\left[K{x}_i^2-p(t)+\Delta \right]x_i-\frac{{\xi }_0}{2}\frac{\partial H_{BF}}{\partial x_i}$$

因$x_i$和$y_i$分离，可用四阶龙格-库塔方法求解方程。

定义
$$z(t)={\left[x_i(t),y_i(t)\right]}^T$$

和

$$f(t,z)={\left[\Delta y_i,-\left(K{x}_i^2-p(t)+\Delta \right)x_i-\frac{{\xi }_0}{2}\frac{\partial H_{BF}}{\partial x_i}\right]}^T$$

计算斜率并更新$z$即可。该算法支持并行计算，可单次运行找到最优${\xi }_0$。

量子启发算法特别是SB算法在硬件加速方面具有潜力。SB算法可在FPGA上实现，较CPU模拟大幅加速，其并行性与确定性动态高度兼容FPGA和专用集成电路（ASIC）等硬件，实现快速和节能优化。此外该模型与量子退火机、光学伊辛机兼容，为加速优化提供更多平台。

3.2 性能评估

为了证明SB算法的可行性，考虑时空编码超表面的典型应用：在特定频率下进行波束形成，同时抑制该频率旁瓣并最小化其他谐波能量。此应用需实现三个目标：增强波束形成角度能量（$H_1$）、抑制中心频率旁瓣能量（$H_2$）、抑制所有谐波能量（$H_3$）。通过模拟量子退火的过程，监测分岔现象和这三个分量的能量变化，如图3所示：

图3 对 SB 算法的评估：(a)时间演化过程中观察到的分岔现象；(b)优化步骤中能量的降低，其中H1、H2和H3分别对应中心频率处的波束成形能量、中心频率处的旁瓣能量以及所有谐波频率处的波束能量。

从图3（a）看出，通过前10个自旋展示分岔现象来验证算法有效性；图 3（b）显示$-H_1$、$H_2$、$H_3$的能量均逐渐降低，表明目标角度和频率的波束形成成功，其他区域能量被抑制。

需要注意的是，x值的波动不影响收敛，仅通过x的符号确定自旋状态——正值对应“自旋向上”（+1），负值对应“自旋向下”（-1），当x值发生分岔，每个变量明确呈现二进制状态，算法被认为有效收敛，优化可终止，兼顾效率与精度。

将SB算法与GA、QGA、SA算法进行比较和评估。具体来说，以标准10×24的2位阵列波束形成问题（含上旁瓣抑制）为基准案例，采用两个指标表征和比较算法的效率：

• 单次运行时间：单次优化耗时；
• 目标时间（TTT）：

$$T=\frac{\ln \left(1-P_d\right)}{\ln \left(1-P_s\right)}\times t$$

其中，$P_d=0.99$为所需成功概率，$P_s$为单次运行找到目标解的成功概率，$t$为单次运行时间，报告单次运行时间和TTT提供了算法性能更全面基准。在本研究中，目标解设置为与仅使用传统波束形成相位获得的结果相比，实现上旁瓣电平2.5dB的抑制。

表1 优化算法的比较

如表1的对比结果显示：

• SB算法实现了比GA和QGA快近40倍的单次运行执行，比SA快约6倍，且SB在单次运行中始终达到目标解，其他三个表现出显著更低的成功率；
• 在TTT评估方面，SB优势显著，比GA快约4000倍、比QGA快约3300倍、比SA快约200倍；
• 其他算法局限：SA成功率高于GA，但性能波动大；QGA在少于32个二进制变量的小规模问题中有效，在本研究的480+变量问题中与GA性能接近，仅提供边际改进。

为了进一步评估该方法的求解时间和可扩展性，论文分析了自旋数量（由超表面尺寸$M\times N$、时隙数L、相位离散化位数$n_{bits}$决定）与优化时间的关系：

图4 使用SB算法求解二进制自旋模型的时间。$M、N、L、n_{bits}$ 分别表示沿x方向的天线数量、沿y方向的天线数量、时隙数量以及相位离散化的比特数。(a)为时间与自旋数的关系，(b)为相同数据的对数-对数尺度，应用幂律拟合来估计计算复杂度。

• 图4（a）说明了求解时间作为自旋计数的函数，为不同规模问题提供计算参考；
• 图4（b）以对数-对数尺度拟合幂律模型以估计经验计算复杂度，得到拟合为$2.26\times 10^{-4}{N}^{1.82}$（N为二进制自旋数），拟合指数1.82接近二次缩放，表明复杂度呈多项式增长，证明SB算法可扩展性良好。

四、数值结果

4.1 单波束转向

时间调制可作为相位调谐的额外自由度（DOF），类似高位离散化，在波束转向的旁瓣抑制中提供显著优势显著。以下为中心频率和谐波频率波束转向的两种场景说明：

（1）中心频率的波束转向

该场景的优化目标为在中心频率将波束转向特定角度，同时抑制中心频率旁瓣及最小化其他谐波频率能量。

适应度函数权重设计如下：

• 波束形成：权重$w_1^0=10$（频率阶数0的第1个角度范围），角度范围 Ω 1 0 = { − 1 7 ∘ < θ < − 1 2 ∘ } \Omega_{1}^{0}=\{-17^{\circ}<\theta<-12^{\circ}\} Ω10​={−17∘<θ<−12∘}；
• 旁瓣抑制：权重$w_2^0=-0.4$，角度范围 Ω 2 0 = { − 9 0 ∘ < θ < 9 0 ∘ } ∖ Ω 1 0 \Omega_{2}^{0}=\{-90^{\circ}<\theta<90^{\circ}\}\setminus \Omega_{1}^{0} Ω20​={−90∘<θ<90∘}∖Ω10​（运算符$\setminus$表示排除波束形成区域${\Omega }_1^0$）；
• 谐波抑制：权重$w_3^h=-0.3$，角度范围 Ω 3 h = { − 9 0 ∘ < θ < 9 0 ∘ } \Omega_{3}^{h}=\{-90^{\circ}<\theta<90^{\circ}\} Ω3h​={−90∘<θ<90∘}（ h ∈ { − 3 , − 2 , − 1 , 1 , 2 , 3 } h \in\{-3,-2,-1,1,2,3\} h∈{−3,−2,−1,1,2,3}，即$h\ne 0$）。

在这里，论文考虑了一个沿y维度具有平移不变性的2比特8×8×8时空编码超表面作为基准，与论文最初始的时变散射模式配置相同，这将二进制变量总数减少为 1×8×8×2。

图5 针对2比特8×8×8时空编码超表面优化后的激励相位，其设计目的是在中心频率下实现$\theta =-14.5◦$的单波束扫描。

图6 2比特8×8×8时空编码超表面在中心频率处的远场方向图，(a)中心频率及谐波的远场方向图，(b)中心频率处有无时间调制的远场方向图对比。

不同时隙的优化相位如图5所示，不同谐波频率的方向图如图6（a）所示，结果清晰地证明了优化的有效性，表现为旁瓣电平（SLL）小于-14dB和低边带能量；图6（b）中有无时间调制的远场方向图比较突出了纳入时间调制的好处，因为具有更高位离散化的等效效应而具有更低的旁瓣。

此外，论文还进行了敏感性分析来研究加权参数对优化性能的影响。主波束形成权重固定为$w_1^0=10$以确保对主要目标的强烈强调，进而系统地改变次要权重$w_2^0$和$w_3^h$，并评估它们对中心频率的旁瓣电平（SLL）和最大边带瓣电平的影响，如图7所示。

图7 对权重$w_2^0$和$w_3^h$的灵敏度分析，其中波束赋形权重$w_1^0$固定为10，(a)不同权重对中心频率处旁瓣电平（SLL）的影响，(b)不同权重对最大边带瓣的影响。

结果表明，优化性能由$w_2^0$和$w_3^h$共同控制：SLL对$w_2^0$表现出高敏感性，尤其当$w_3^h>0.3$时；而最大边带瓣电平在$w_2^0$大且$w_3^h$小时更敏感。

这种不对称性突出了多目标公式中权重平衡的重要性，为了确定合适的权重组合，采用了经验调谐和二分搜索策略的组合，这种混合方法利用特定问题的见解同时保持计算效率，因为每次优化运行都可快速完成。

（2）谐波频率的波束转向

类似于中心频率的波束转向，通过修改适应度函数也可以实现任意谐波频率的波束转向。仍然考虑相同的2比特8×8×8时空编码超表面，将谐波频率$h=-1$时的波束聚焦在28°处。

适应度函数权重设计如下：

• 波束形成：权重$w_1^{-1}=10$，角度范围 Ω 1 − 1 = { 25. 5 ∘ < θ < 30. 5 ∘ } \Omega_{1}^{-1}=\{25.5^{\circ}<\theta<30.5^{\circ}\} Ω1−1​={25.5∘<θ<30.5∘}；
• 旁瓣抑制：权重$w_2^{-1}=-0.3$，角度范围 Ω 2 − 1 = { − 9 0 ∘ < θ < 9 0 ∘ } ∖ Ω 1 − 1 \Omega_{2}^{-1}=\{-90^{\circ}<\theta<90^{\circ}\}\setminus \Omega_{1}^{-1} Ω2−1​={−90∘<θ<90∘}∖Ω1−1​（排除${\Omega }_1^{-1}$）；
• 谐波抑制：权重$w_3^h=-0.2$，角度范围 Ω 3 h = { − 9 0 ∘ < θ < 9 0 ∘ } \Omega_{3}^{h}=\{-90^{\circ}<\theta<90^{\circ}\} Ω3h​={−90∘<θ<90∘}（ h ∈ { − 3 , − 2 , 0 , 1 , 2 , 3 } h \in\{-3,-2,0,1,2,3\} h∈{−3,−2,0,1,2,3}）。

不同谐波频率的优化方向图如图8（a）所示，图8（b）提供了有无时间调制的波束方向图比较，展示了与中心频率波束转向类似的良好性能。

图8 对于2比特8×8×8时空编码超表面，在谐波频率$h=-1$处的单波束转向方向图，(a)中心和谐波远场方向图，(b)有无时间调制的$h=-1$谐波频率处远场方向图比较。

4.2 多波束转向

除了抑制边带波束并将其视为干扰外，还可利用其实现谐波波束形成，即在不同方向或不同谐波频率的相同方向生成波束。在这种情况下，来自简单场景（如初始单波束示例）的权重配置可作为复杂任务的起点，简化权重选择。

（1）不同角度的2比特波束转向

将多个波束聚焦在对应于谐波阶数 h = { − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } h=\{-2,-1,0,1,2\} h={−2,−1,0,1,2}的不同方向，波束分别指向角度 { − 3 0 ∘ , − 1 5 ∘ , 0 ∘ , 1 5 ∘ , 3 0 ∘ } \{-30^{\circ},-15^{\circ},0^{\circ},15^{\circ},30^{\circ}\} {−30∘,−15∘,0∘,15∘,30∘}。仍然使用2比特8×8×8时空编码超表面。，分配权重$w_1^h=10$，角度范围 Ω 1 h = { − 2. 5 ∘ + h × 1 5 ∘ < θ < 2. 5 ∘ + h × 1 5 ∘ } \Omega_{1}^{h}=\{-2.5^{\circ}+h×15^{\circ}<\theta<2.5^{\circ}+h×15^{\circ}\} Ω1h​={−2.5∘+h×15∘<θ<2.5∘+h×15∘}（ h ∈ { − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } h \in\{-2,-1,0,1,2\} h∈{−2,−1,0,1,2}），结果如图9（a）所示，证明了在不同角度的谐波波束形成中的良好性能。

（2）相同角度的2比特波束转向

使用与上述相同的超表面配置，将不同谐波频率的波束聚焦在相同方向。分配权重$w_1^h=10$，角度范围 Ω 1 h = { − 2. 5 ∘ < θ < 2. 5 ∘ } \Omega_{1}^{h}=\{-2.5^{\circ}<\theta<2.5^{\circ}\} Ω1h​={−2.5∘<θ<2.5∘}（ h ∈ { − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } h \in\{-2,-1,0,1,2\} h∈{−2,−1,0,1,2}），形成结果如图9（b）所示，实现了不同频率下同一方向的波束形成。

图9 2比特8×8×8时空编码超表面的多波束引导模式，(a)在不同频率下沿不同方向生成波束引导，(b)在不同频率下沿相同方向生成波束引导。

（3）不同角度的3比特波束转向

接着论文考虑了一个3比特8×8×8时空编码超表面，其中所有超原子相位可独立调谐，导致总共含3×8×8×8个二进制变量。

此处呈现一个双波束转向示例 ——$h=1$时波束聚焦于$(30^{\circ },0^{\circ })$，$h=2$时聚焦于$(0^{\circ },30^{\circ })$。分别分配权重$w_1^1=10$，角度范围 Ω 1 2 = { − 32. 5 ∘ < θ < − 27. 5 ∘ , − 2. 5 ∘ < φ < 2. 5 ∘ } \Omega_{1}^{2}=\{-32.5^{\circ}<\theta<-27.5^{\circ},-2.5^{\circ}<\varphi<2.5^{\circ}\} Ω12​={−32.5∘<θ<−27.5∘,−2.5∘<φ<2.5∘}，和权重$w_1^2=10$，角度范围 Ω 1 1 = { − 2. 5 ∘ < θ < 2. 5 ∘ , 27. 5 ∘ < φ < 32. 5 ∘ } \Omega_{1}^{1}=\{-2.5^{\circ}<\theta<2.5^{\circ},27.5^{\circ}<\varphi<32.5^{\circ}\} Ω11​={−2.5∘<θ<2.5∘,27.5∘<φ<32.5∘}。

优化激励相位如图10所示，不同频率下的二维（2D）和一维（1-D）远场散射方向图如图11和图12所示，验证了方法有效性。

图10 3比特8×8×8时空编码超表面的优化激励相位，旨在实现当$h=1$时在(-30°，0°)方向的波束引导，以及当$h=2$时在(0°，30°)方向的波束引导。

图11 3比特8×8×8时空编码超表面的2D多波束引导模式，(a)$h=1$时的远场模式，(b)$h=2$时的远场模式。

图12 3比特8×8×8时空编码超表面的1-D多波束引导模式，(a)$h=1$时的远场模式，(b)$h=2$时的远场模式。

（三）波形设计

最后，论文研究了使用空时编码超表面进行波形设计的所提出的方法。

具体来说，谐波频率$h=2$设计方形波形，为$h=-1$设计波束形成方向图。本示例采用2比特15×15×8阵列，涉及2×1800个二进制变量优化。这类规模问题对GA等算法挑战较大，需大量计算时间。此外，方形波形方向图难以通过依赖连续幅度和相位控制的解析方法直接生成，因此在考虑离散的系统中不可用。

权重与角度范围设置为：$w_1^{-1}=10$， Ω 1 − 1 = { − 32. 5 ∘ < θ < − 27. 5 ∘ , − 32. 5 ∘ < φ < − 27. 5 ∘ } \Omega_{1}^{-1}=\{-32.5^{\circ}<\theta<-27.5^{\circ}, -32.5^{\circ}<\varphi<-27.5^{\circ}\} Ω1−1​={−32.5∘<θ<−27.5∘,−32.5∘<φ<−27.5∘}；$w_1^2=8$， Ω 1 2 = { − 2 0 ∘ < θ < 2 0 ∘ , − 2 0 ∘ < φ < 2 0 ∘ } \Omega_{1}^{2}=\{-20^{\circ}<\theta<20^{\circ}, -20^{\circ}<\varphi<20^{\circ}\} Ω12​={−20∘<θ<20∘,−20∘<φ<20∘}。如图 13（a-b）所示，在$h=-1$和$h=2$处分别得到高质量波束形成和方形波形方向图。

作为对比，图13（c）为无时间调制的无源超表面生成的方形波束方向图（目标函数相同但禁用时间调制组件），可看出其方向图更不规则，即使是在目标角度范围内也有明显失真，与时间调制时实现的均匀准确的方向图形成对比。这表明在无时间调制时，波束生成不仅限于中心频率，且因离散化不足，整体波束形成性能也会下降。

图13 2比特15×15×8时空编码超表面的2D波形设计模式，(a)$h=-1$时，波形聚焦于(-30°，-30°)方向，(b)$h=2$时，波形聚焦于$\theta =-20°$到$20°$以及$\varphi =-20°$ 到$20°$的区域。© 被动超表面在没有时间调制的情况下生成的方形模式。

另外，在$\theta =-30^{\circ }$和$\theta =-10^{\circ }$处不同频率的1-D波形方向图如图（14）所示，其中不需要的能量被有效抑制，体现了优化算法的有效性。该示例证明了所提方法的灵活性及解决大规模复杂问题的能力。

图14 2比特15×15×8时空编码超表面的1-D波形设计模式，(a)在$\theta =-30°$处的1-D远场模式，(b)在$\theta =-10°$处的1-D远场模式。

五、结论

本论文利用量子退火启发算法优化时空编码超表面，有效解决了因时间维度引入的变量数量增加而产生的优化耗时延长问题。其中时空编码超表面的散射行为被转化为二进制自旋模型，随后利用设计的适应度函数的模拟分岔（SB）算法进行优化。如所呈现的示例表明，该优化算法在一系列波束形成目标中均展现出优异的性能，对于更为复杂的任务，权重与惩罚项的精细校准尤为关键。

未来的研究工作将聚焦于进一步提升算法速度，拓展应用在更复杂任务（如上旁瓣抑制）中；利用制备的时空编码超表面开展实验验证，用于实时波束形成应用。

论文链接：Quantum Annealing-Inspired Optimization for Space-Time Coding Metasurface | IEEE Journals & Magazine | IEEE Xplore