数字游戏C++(基于时间限制的讨论)

问题描述：
  栋栋正在和同学们玩一个数字游戏。
游戏的规则是这样的：栋栋和同学们一共n个人围坐在一圈。栋栋首先说出数字1。接下来，坐在栋栋左手边的同学要说下一个数字2。再下面的一个同学要从上一个同学说的数字往下数两个数说出来，也就是说4。下一个同学要往下数三个数，说7。依次类推。为了使数字不至于太大，栋栋和同学们约定，当在心中数到 k-1 时，下一个数字从0开始数。例如，当k=13时，栋栋和同学们报出的前几个数依次为：1, 2, 4, 7, 11, 3, 9, 3, 11, 7。
游戏进行了一会儿，栋栋想知道，到目前为止，他所有说出的数字的总和是多少。样例说明
栋栋说出的数依次为1, 7, 9，和为17。
**输入：**输入的第一行包含三个整数 n,k,T，其中 n 和 k 的意义如上面所述，T 表示到目前为止栋栋一共说出的数字个数。数据规模和约定
1 < n,k,T < 1,000,000；
输出：
输出一行，包含一个整数，表示栋栋说出所有数的和。

样式输入：3 13 3
样式输出：17

当n,k,T都不是很大的时候，很容易发现其中的关系，但是时间上并不是很好。以1，2，4，7，11，3，9，3，11，7为例，可以创建一个数组，观察11后面的数字，将11后面的数字重写，故得到如下数列：1，2，4，7，11，16，22，29，37，46，56…很容易发现规律，就是v[i]=v[i-1]+i,v[0]=1，那如何回到题目要求的那样呢？很明显，就是后面的数除以13得到的余数，即v[i]%k得到我们需要的所有数的情况，从而很容易得知所有数的和，这里不建议用数组，采用vector比较好，便于空间不浪费，下面附此写法（注意，当数字很大的时候时间会超额）

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main(){
	int n,k,T,temp,sum=0;
	cin>>n>>k>>T;
	vector<int> v;
	v.push_back(1);
	for(int i=1;i<n*T;i++){
		temp=v[i-1]+i;
		temp%=k;
		v.push_back(temp);
	}
	for(int i=0;i<n*T;i=i+n){
		sum+=v[i];
	}
	cout<<sum<<endl;
	return 0;
} 

但是题目规定中n,k,T均是小于1,000,000，如果采用以上的方法计算十几万级别，运算起来是非常麻烦的，有没有更快的方法呢？
下面进行方法改进。
在我观察这个数列的时候，很明显的发现可以写出一个通项关系，根据v[i]=v[i-1]+i(i从0开始），联想到构造函数数列
$$f(n)=f(n-1)+n-1$$
n从1开始，故通过累加可知通项公式为：
$$f(n)=\frac{1}{2}{n}^2-\frac{1}{2}n+1$$

再次通过观察法以找规律：
把上面的过程完善一下：东东所报的数用 t 表示
第1次：t1=1
第2次：t2=7 --> 7=((1+2+3)+1)%13 --> t2=((1+2+3)+t1)%k --> t2=((1+1+n-1)*n/2+t1)%k;
第3次：t3=9 --> 9=((4+5+6)+7)%13 --> t3=((4+5+6)+t2)%k --> t2=((4+4+n-1)*n/2+t2)%k;
规律如上；如何衔接每次的结果：
t就不说了看上面就很容易知道了；
至于每次的首项和末项：定义一个变量 a 作为首项，初值为1，下次的首项就是a+n(即这个例子中的4)，每次累加n就可以找到首项，末项用等差数列公式a1+(n-1)*d = a+n-1(d=1, n是通过键盘输入的)；那么首项、末项都知道了，规律如上总结；可以解题了……(注意要使用long long )
其实本质就是等差，只不过改变了首项而已，根据我上面的通项进行汇总改写：
$$f(n)=\frac{1}{2}{n}^2-\frac{1}{2}n+f(1)$$
而这里的f(1)就是我前面所说的a。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n, k, T;
    long long sum = 1, t=1, a=1;
    cin>>n>>k>>T;
    for(int i = 1; i < T; ++i)
    {
        t = (((a+a+n-1)*n/2)+t)%k;
        sum += t;
        a += n;
    }
    printf("%lld\n", sum);
    return 0;
}