Codeforce round 553E—— Number of Components （思维）_网络 number of components-优快云博客

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博客给出一道排列相关题目的链接及大意，定义f函数求排列连通块个数并要求累加结果。解题思路是考虑每个元素作为左、右端点的区间对答案的贡献，分情况计算，最后将所有贡献求和并除以2，复杂度为O(n)，还提及会给出代码。

题目链接：https://codeforces.com/contest/1151/problem/E

题目大意：给你一个1到n的排列，定义f函数为f(l,r)：只保留排列中值在l和r中的数，返回此时排列的连通块的个数。

最后让你求 $\sum_{l=1}^{n} \sum_{r=l}^{n} f(l, r)$

思路：像这样求累加的题目通常是需要向每个元素对答案的贡献这方面思考的。

考虑所有左端点为a[i]a[i]的区间对答案的贡献，若a[i−1]<a[i]，那么对于满足a[i−1]<l≤a[i],a[i]≤r≤n的所有(l,r)，得到的区间中都会有一个左端点为a[i]的，所以对答案的贡献是(a[i]−a[i−1])∗(n−a[i]+1),即该情况下的所有可能左端点乘右端点

若a[i−1]>a[i]，那么对于满足1≤l≤a[i],a[i]≤r<a[i−1]的所有(l,r)，得到的区间中都会有一个左端点为a[i]的，对答案的贡献是a[i]∗(a[i−1]−a[i])

同理，可以计算出所有以a[i]a[i]为右端点的区间的贡献，求和之后，得到的结果是答案的两倍，除以2之后输出即可，复杂度O(n)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main() {
  int n;
  scanf("%d", &n);
  vector<int> a(n + 2);
  for (int i = 1; i <= n; ++i)
       scanf("%d", &a[i]);
  a[0] = a[n + 1] = 0;
  ll ans = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    if (a[i - 1] < a[i]) {
      ans += (ll)(a[i] - a[i - 1]) * (n - a[i] + 1);
    } else {
      ans += (ll)(a[i - 1] - a[i]) * a[i];
    }
    if (a[i + 1] < a[i]) {
      ans += (ll)(a[i] - a[i + 1]) * (n - a[i] + 1);
    } else {
      ans += (ll)(a[i + 1] - a[i]) * a[i];
    }
  }
  printf("%I64d\n", ans / 2);
  return 0;
}