交叉熵（Cross-Entropy）

交叉熵（Cross-Entropy）

交叉熵是一个在ML领域经常会被提到的名词。在这篇文章里将对这个概念进行详细的分析。

1.什么是信息量？

假设XX是一个离散型随机变量，其取值集合为XX，概率分布函数为p(x)=Pr(X=x),x∈Xp(x)=Pr(X=x),x∈X，我们定义事件X=x0X=x0的信息量为： 
I(x0)=−log(p(x0))I(x0)=−log(p(x0))，可以理解为，一个事件发生的概率越大，则它所携带的信息量就越小，而当p(x0)=1p(x0)=1时，熵将等于0，也就是说该事件的发生不会导致任何信息量的增加。举个例子，小明平时不爱学习，考试经常不及格，而小王是个勤奋学习的好学生，经常得满分，所以我们可以做如下假设： 
事件A：小明考试及格，对应的概率P(xA)=0.1P(xA)=0.1，信息量为I(xA)=−log(0.1)=3.3219I(xA)=−log⁡(0.1)=3.3219 
事件B：小王考试及格，对应的概率P(xB)=0.999P(xB)=0.999，信息量为I(xB)=−log(0.999)=0.0014I(xB)=−log⁡(0.999)=0.0014 
可以看出，结果非常符合直观：小明及格的可能性很低(十次考试只有一次及格)，因此如果某次考试及格了（大家都会说：XXX竟然及格了！），必然会引入较大的信息量，对应的II值也较高。而对于小王而言，考试及格是大概率事件，在事件B发生前，大家普遍认为事件B的发生几乎是确定的，因此当某次考试小王及格这个事件发生时并不会引入太多的信息量，相应的II值也非常的低。

2.什么是熵？

那么什么又是熵呢？还是通过上边的例子来说明，假设小明的考试结果是一个0-1分布XAXA只有两个取值{0：不及格，1：及格}，在某次考试结果公布前，小明的考试结果有多大的不确定度呢？你肯定会说：十有八九不及格！因为根据先验知识，小明及格的概率仅有0.1,90%的可能都是不及格的。怎么来度量这个不确定度？求期望！不错，我们对所有可能结果带来的额外信息量求取均值（期望），其结果不就能够衡量出小明考试成绩的不确定度了吗。 
即： 
HA(x)=−[p(xA)log(p(xA))+(1−p(xA))log(1−p(xA))]=0.4690HA(x)=−[p(xA)log⁡(p(xA))+(1−p(xA))log⁡(1−p(xA))]=0.4690 
对应小王的熵： 
HB(x)=−[p(xB)log(p(xB))+(1−p(xB))log(1−p(xB))]=0.0114HB(x)=−[p(xB)log⁡(p(xB))+(1−p(xB))log⁡(1−p(xB))]=0.0114 
虽然小明考试结果的不确定性较低，毕竟十次有9次都不及格，但是也比不上小王（1000次考试只有一次才可能不及格，结果相当的确定） 
我们再假设一个成绩相对普通的学生小东，他及格的概率是P(xC)=0.5P(xC)=0.5,即及格与否的概率是一样的，对应的熵： 
HC(x)=−[p(xC)log(p(xC))+(1−p(xC))log(1−p(xC))]=1HC(x)=−[p(xC)log⁡(p(xC))+(1−p(xC))log⁡(1−p(xC))]=1 
其熵为1，他的不确定性比前边两位同学要高很多，在成绩公布之前，很难准确猜测出他的考试结果。 
可以看出，熵其实是信息量的期望值，它是一个随机变量的确定性的度量。熵越大，变量的取值越不确定，反之就越确定。

对于一个随机变量X而言，它的所有可能取值的信息量的期望（E[I(x)]E[I(x)]）就称为熵。 
XX的熵定义为： 
H(X)=Eplog1p(x)=−∑x∈Xp(x)logp(x)H(X)=Eplog⁡1p(x)=−∑x∈Xp(x)log⁡p(x) 
如果p(x)p(x)是连续型随机变量的pdf，则熵定义为： 
H(X)=−∫x∈Xp(x)logp(x)dxH(X)=−∫x∈Xp(x)log⁡p(x)dx 
为了保证有效性，这里约定当p(x)→0时,有p(x)logp(x)→0p(x)→0时,有p(x)log⁡p(x)→0 
当X为0-1分布时，熵与概率p的关系如下图： 
 
可以看出，当两种取值的可能性相等时，不确定度最大（此时没有任何先验知识），这个结论可以推广到多种取值的情况。在图中也可以看出，当p=0或1时，熵为0，即此时X完全确定。 
熵的单位随着公式中log运算的底数而变化，当底数为2时，单位为“比特”(bit)，底数为e时，单位为“奈特”。

3.什么是相对熵？

相对熵(relative entropy)又称为KL散度（Kullback-Leibler divergence），KL距离，是两个随机分布间距离的度量。记为DKL(p||q)DKL(p||q)。它度量当真实分布为p时，假设分布q的无效性。 
DKL(p||q)=Ep[logp(x)q(x)]=∑x∈Xp(x)logp(x)q(x)DKL(p||q)=Ep[log⁡p(x)q(x)]=∑x∈Xp(x)log⁡p(x)q(x) 
=∑x∈X[p(x)logp(x)−p(x)logq(x)]=∑x∈X[p(x)log⁡p(x)−p(x)log⁡q(x)] 
=∑x∈Xp(x)logp(x)−∑x∈Xp(x)logq(x)=∑x∈Xp(x)log⁡p(x)−∑x∈Xp(x)log⁡q(x) 
=−H(p)−∑x∈Xp(x)logq(x)=−H(p)−∑x∈Xp(x)log⁡q(x) 
=−H(p)+Ep[−logq(x)]=−H(p)+Ep[−log⁡q(x)] 
=Hp(q)−H(p)=Hp(q)−H(p) 
并且为了保证连续性，做如下约定： 
0log00=0，0log0q=0，plogp0=∞0log⁡00=0，0log⁡0q=0，plog⁡p0=∞ 
显然，当p=qp=q时,两者之间的相对熵DKL(p||q)=0DKL(p||q)=0 
上式最后的Hp(q)Hp(q)表示在p分布下，使用q进行编码需要的bit数，而H(p)表示对真实分布pp所需要的最小编码bit数。基于此，相对熵的意义就很明确了：DKL(p||q)DKL(p||q)表示在真实分布为p的前提下，使用q分布进行编码相对于使用真实分布p进行编码（即最优编码）所多出来的bit数。

4. 什么是交叉熵？

交叉熵容易跟相对熵搞混，二者联系紧密，但又有所区别。假设有两个分布p，qp，q，则它们在给定样本集上的交叉熵定义如下： 
CEH(p,q)=Ep[−logq]=−∑x∈Xp(x)logq(x)=H(p)+DKL(p||q)CEH(p,q)=Ep[−log⁡q]=−∑x∈Xp(x)log⁡q(x)=H(p)+DKL(p||q) 
可以看出，交叉熵与上一节定义的相对熵仅相差了H(p)H(p),当pp已知时，可以把H(p)H(p)看做一个常数，此时交叉熵与KL距离在行为上是等价的，都反映了分布p，q的相似程度。最小化交叉熵等于最小化KL距离。它们都将在p=qp=q时取得最小值H(p)H(p)（p=q时KL距离为0），因此有的工程文献中将最小化KL距离的方法称为Principle of Minimum Cross-Entropy (MCE)或Minxent方法。 
特别的，在logistic regression中， 
p:真实样本分布，服从参数为p的0-1分布，即X∼B(1,p)X∼B(1,p) 
q:待估计的模型，服从参数为q的0-1分布，即X∼B(1,q)X∼B(1,q) 
两者的交叉熵为： 
CEH(p,q)CEH(p,q) 
=−∑x∈Xp(x)logq(x)=−∑x∈Xp(x)log⁡q(x) 
=−[Pp(x=1)logPq(x=1)+Pp(x=0)logPq(x=0)]=−[Pp(x=1)log⁡Pq(x=1)+Pp(x=0)log⁡Pq(x=0)] 
=−[plogq+(1−p)log(1−q)]=−[plog⁡q+(1−p)log⁡(1−q)] 
=−[yloghθ(x)+(1−y)log(1−hθ(x))]=−[ylog⁡hθ(x)+(1−y)log⁡(1−hθ(x))] 
对所有训练样本取均值得： 
−1m∑i=1m[y(i)loghθ(x(i))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]−1m∑i=1m[y(i)log⁡hθ(x(i))+(1−y(i))log⁡(1−hθ(x(i)))] 
这个结果与通过最大似然估计方法求出来的结果一致。

5.参考链接：

维基百科关于cross-entropy的解释 
交叉熵损失函数 
UFLDL中关于logistic regression的说明 
Kraft’s inequality 
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