牛客网 整数拆分（dp，递推）

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整数拆分

题目描述

一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如： 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 总共有六种不同的拆分方式。 再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6. 要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

输入描述:

每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。

输出描述:

对于每组数据，输出f(n)%1000000000。

输入

7

输出

6

思路

首先手写出前10找到规律：

2可以拆分成2种：

• 1+1
• 2

3可以拆分成2种：

• 1+1 +1
• 2 +1

4可以拆分成4种：

• 1+1+1+1
• 1+1+2
• 2+2
• 4

5可以拆分成4种：

• 1+1+1+1 +1
• 1+1+2 +1
• 2+2 +1
• 4 +1

6可以拆分成6种：

• 1+1+1+1+1+1
• 1+1+1+1+2
• 1+1+2+2
• 1+1+4
• 2+2+2
• 2+4

7可以拆分成6种：

• 1+1+1+1+1+1 +1
• 1+1+1+1+2 +1
• 1+1+2+2 +1
• 1+1+4 +1
• 2+2+2 +1
• 2+4 +1

8可以拆分成10种：

• 1+1+1+1+1+1+1+1
• 1+1+1+1+1+1+2
• 1+1+1+1+2+2
• 1+1+2+2+2
• 1+1+1+1+4
• 1+1+2+4
• 2+2+2+2
• 2+2+4
• 4+4
• 8

9可以拆分成10种（8的每一种+1）

10可以拆分成14种：

• 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
• 1+1+1+1+1+1+1+1+2
• 1+1+1+1+1+1+2+2
• 1+1+1+1+2+2+2
• 1+1+2+2+2+2
• 1+1+1+1+1+1+4
• 1+1+1+1+2+4
• 1+1+2+2+4
• 1+1+4+4
• 1+1+8
• 2+2+2+2+2
• 2+2+2+4
• 2+4+4
• 2+8

通过手写可以发现基本的规律，当n为奇数的时候，可以拆分的数量和n-1的拆分数一样。

那么当n为偶数的时候怎么办呢？

我的思路是因为奇数的划分数比较好求，所以把偶数往奇数上面靠，因此想到偶数可以划分成两个奇数的和，但是奇数应该如何选择呢？

如果是靠近中值去划分，那么以10为例，划分成5+5，那么假设dp[10]=dp[5]*dp[5]，显然会多出很多种重复的情况，左边的5如果表示成2+2+1，而右边的5也可以表示为2+2+1，那么这两种拆分方式（1+4 1+2+2）与（1+2+2 1+4）会重复， 考虑到不太容易减去重复的情况，所以想到了划分为1和n-1。

但是这存在没有考虑到的情况，就是拆分全为偶数的情况，那么一共有n/2个2，以10为例等价于5的拆分，因此当i为偶数的时候：dp[i]=dp[i/2]+dp[i-1]

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define mod 1000000000
int dp[MAXN];
void init(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[1]=1;
    dp[2]=2;
}
int main(){
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        init();
        for (int i=3;i<=n;i++){
            if (i%2==1){
                dp[i]=dp[i-1];
            }else {
                dp[i]=dp[i/2]+dp[i-1];
            }
            dp[i]%=mod;
        }
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}