【NOIP2016模拟赛No.1】 牛宫

题目描述

$AP$神牛准备给自己盖一座很华丽的宫殿。于是，他看中了一块$N*M$的矩形空地。空地中每个格子都有自己的海拔高度。$AP$想让他的宫殿的平均海拔在海平面之上（假设海平面的高度是$0$，平均数都会算吧？）。而且，$AP$希望他的宫殿尽量大，能够容纳更多的人来膜拜他。请问$AP$的宫殿最后会有多大？

输入

第一行为$N$和$M$。之后$N$行，每行$M$个数，描述的空地的海拔。

输出

输出一行,表示宫殿最大面积。

样例输入

$3$ $2$
$4$ $0$
$-10$ $8$
$-2$ $-2$

样例输出

$4$

提示

对于$30\%$的数据，$N,M≤50$;
对于$100\%$的数据，$N,M≤200$

解法
（首先，宫殿也是矩形= =）

这题$n^6$和$n^4$暴力很显然

在$n^4$的思路上进行优化。保留枚举子矩阵的左右端的列，在行的枚举上做优化。对于一个确定的$L、R$，可以用行前缀和$O(1)$知道第$i$行在这个区间内的值$s[i][R]-s[i][L-1]$。
我们要找一个平均值大于$0$的区间，就是需要找到一段和大于$0$的行。
对$s[i][R]-s[i][L-1]$做前缀和，即$S[k]=\sum_{i=1}^k(s[i][R]-s[i][L-1])$

问题现在就转化成为找一个$i\in[0,k)$使得$S[k]-S[i]>0$且i尽量小。

因为我们现在求一个区间的值可以用$S$数组相减得到结果，所以注意到一个性质，如果对于一个数$i\in[0,k)$，还存在$j\in[0,i)$且$S[j]<=S[i]$，那么还要$i$干什么……
所有比$S[i]$大的，都比$S[j]$大，与$j$得到的答案也都更优。
于是乎……选择性地保留一些$S$来更新答案，在$k$从上往下扫时，如果$S[k]$比最后一个记录的$S$还小，就把$S[k]$也记录上
（这是一个单调栈）
然后更新答案时二分查找单调栈中第一个可行元素。
时间代价$n^3log(n)$

（题外话一：我还写了个$n^3log(lim)$的线段树硬上失败……）
（题外话二：数据有点水，暴力优化一下就跑过了……）

代码

#include<stdio.h>
#define ll long long
#define N 250
#define lim 1000000000000

int n,m,ans,l,r,mid,q[N];
long long s[N][N],S[N];

inline int max(const int &a,const int &b){return (a<b)?b:a;}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1,a;i<=n;i++) for (int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a),s[i][j]=s[i][j-1]+a;   
    for (int i=1;i<=m;i++) for (int j=i,t=0;j<=m;j++,t=0) for (int k=1;k<=n;k++)
    {
        if ((S[k]=S[k-1]+s[k][j]-s[k][i-1])<S[q[t]]) q[++t]=k;
        for (l=0,r=t,mid=(l+r)>>1;l<r;mid=(l+r)>>1) if (S[q[mid]]<S[k]) r=mid;
        else l=mid+1;
        ans=max(ans,(k-q[l])*(j-i+1));
    }
    printf("%d\n",ans);
}