电路分析基本知识

电流$I$

$I=\frac{Q}{t}$

随时间变化的$i=\frac{dq}{dt}$

注意电流的参考方向, 同向为正

电压$U$

直流电压: $U_{ab}=\frac{W_{ab}}{Q}$

时变电压 $u_{ab}=\frac{d{w}_{ab}}{dq}$

参考方向正极性指向负极性

关联参考方向: 电压的方向和电流的方向一致

非关联参考方向: 方向相反

功率$P$

$p(t)=\frac{dw}{dt}$

$p(t)=u(t)i(t)$

在直流电路中 $P=UI$

若$P>0$则该元件或电路吸收功率; 若$P<0$, 则该元件或电路发出功率, 即起电源作用

功率平衡原理: 在完整电路中, $\sum P=0$

对于一个二端元件, 电压与电流为关联参考方向时$p=ui$, 非关联参考方向时$p=-ui$

电阻$R$

欧姆定律公式: $u=Ri$

非关联参考方向时 $u=-Ri$

元件的电压与电流之间的关系称为伏安关系(VAR), 线性电阻元件的伏安特性曲线是过原点的一条直线

当电阻元件上电流恒为零时, 即$I\to +\infty$, 称为开路

导线断开

当电阻元件上电压恒为零时, 即$U\to +\infty$, 称为短路

导线直接连在电源两端

线性电阻元件功率$P$在电压和电流的关联参考方向下:

$P=\frac{U}{I}=R{I}^2=\frac{U^2}{R}=G{U}^2$

电导(G)

电阻的倒数,单位为西门子($S$)

$i=Gu$

$i=\frac{u}{R}=Gu$

电压源与电流源

理想电压源$U_s$

电压恒定, 电流由外界电路确定.

​ 符号中间的杠和导线方向一致

电压源的电压可以为0, 电压为0的电压源相当于短路线

理想电流源$I_s$

电流恒等, 电压由外界电路确定.

​ 符号中间的杠和导线垂直

电流源的电流可以为0, 电流为0的电流源相当于断路

实际电源$R_s$

实际电源由内阻$R_s$, 使用时间不同, 输出电流值和电压值会变化. 会产生热量$P_{热}=I^2{R}_s$, 输出电压降低$U_{输出}=U-I{R}_s$

实际电压源

由理想电压源$U_s$和内阻$R_s$串联组成

实际电压源伏安关系为

$U=U_s-R_{s}I$

开路电压$U_{OC}=U_s$

短路电流$I_{SC}=\frac{U_S}{R_S}$

实际电流源

由理想电流源$I_S$和内阻$R_S$并联

伏安关系为

$I=I_S-\frac{U}{R_S}$

开路电压$U_{OC}=R_S{I}_S$

短路电流$I_{SC}=I_S$

基尔霍夫定律

支路: 每一个二端元件就是一条支路. 一条支路流过一个电流, 称为支路电流.

节点: 三条或三条以上支路的联接点

分段点: 元件与元件的联接点

回路: 由支路组成的闭合路径

基尔霍夫电流定律(KCL)

任一时刻流出(流入)任一节点电流的代数和等于0, 或任一时刻, 流入任一节点的电流之和等于流出该节点的电流之和

$\sum I=0$ 或 $\sum I_{in}=\sum I_{out}$

基尔霍夫电压定律(KVL)

沿任一闭合回路绕行一周, 各支路电压的代数和为0

$\sum U=0$

元件两端电压的方向与回路绕行的方向一致取正,相反取负

电位$V$

同物理学中的电势

需要选取参考点, 该点电位规定为0, 用符号⊥. 其他点的电位$V$就是该点与参考点之间的电压$U$. 两点之间的电压等于两点之间的电位差

电压的参考方向下, 电位降低

利用电位可以将电路简化

省略电压源符号, 只标注出电位的大小和极性

单口网络及等效

单口网络是指只有一个端口与外部电路连接的电路, 端口有两个端钮, 流入一个端钮的电流等于流出另一个端钮的电流. 两个单口网络$N1$和$N2$, 如果伏安关系$VAR$完全相同, 则两个单口网络是等效的.

等效是指对外电路等效, 内部结构不一定一样

端口:

1、定义：如果两个接线端，从一个接线端流入的电流等于从另一个接线端流出的电流，那么这两个接线端就构成了一个端口

2、形成端口所需要的条件称为端口条件

3、两个接线端的元件一定是一个端口

4、如果一个电路有四个接线端，它们分成两组可以分别构成两个端口，那么这个端口叫做二端口

作者：归逝风翼 https://www.bilibili.com/read/cv12688110/ 出处：bilibili

电阻的串联及等效

串联电路的等效电阻:$R_{总}=\sum R_i$

第k条支路的电压:$U_k=\frac{R_k}{{\sum }_{i=1}^n{R}_i}U$

电阻的并联及等效

等效电阻满足$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots +\frac{1}{R_n}$

$I=I_1+I_2+\cdots +I_n=(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots +\frac{1}{R_n})U=(G_1+G_2+\cdots +G_n)U=GU$

理想电压源的串联及等效

n个理想电压源串联起来

$u_S={\sum }_{k=1}^n{u}_{Sk}$

理想电流源的并联及等效

n个理想电流源并联起来

$i_S={\sum }_{k=1}^n{i}_{Sk}$

理想电压源与元件的并联及等效

电压源和一个元件并联, 对于外电路而言可以等效成电压源本身. 如果并联的元件是电压源, 则要求两个电压源的极性和大小相同, 否则禁止将两个电压源并联在一起

(电压源直接把这个元件吃掉惹)

理想电流源与元件的串联及等效

电流源和一个元件串联, 对于外电路而言可以等效成电流源本身. 如果并联的元件是电流源, 则要求两个电流源的极性和大小相同, 否则禁止将两个电压源并联在一起

实际电压源与实际电流源的等效

满足两个电源的VAR完全相同时, 两个电路等效

当电压源正极性在上时, 电流源的箭头方向向上

例如:

电压源$U_S$与电阻$R_S$串联, 他们的VAR为$U=U_S-R_{S}I$

电流源$I_S$与电阻$R_0$并联, 他们的VAR为$U=R_0(I_S-I)=R_0{I}_S-R_{0}I$

当满足$R_S=R_0$,且$U_S=R_0{I}_S$时,VAR相同, 则他们等效

电路分析的基本方法

节点电位分析法

• 选择某一节点为电位参考点(电位为0)
• 列出独立节点的KCL方程. 一般来说, 对具有n个节点的电路运用基尔霍夫电流定律只能得到(n-1)个独立的KCL方程
  • 这里设节点连接的支路电流为$I_i$, $\sum I_i=0$
• 用节点点位表示支路电流
  • 设节点的电位为$V_i$
  • 每个支路的两端肯定是独立节点, 这条支路的电压$U=V_a-V_b$
  • 这条支路的电阻通过等效电阻计算
  • 最后可以求出这条支路的电流$I=\frac{U}{R}$
• 整理方程并求解
  • 将各个支路电流带入到第二步的式子中

什么是独立的?

​ 应该是指这个节点和其他节点之间是有元件隔开的, 不能是导线直接相连的节点

支路电流法

• 标出m条未知支路电流的参考方向

  • 先判断独立节点, 独立节点两两之间为未知支路

• 列KCL方程

  • n个独立节点一般能列n-1个KCL

• 列独立的KVL方程

  • 独立的KVL方程数为$m-(n-1)$

  • 独立回路的定义：每定义一个独立回路，之中必须、至少有一条未被使用过的支路，直到所有的支路都被用过为止

  • 独立回路找法很简单，做题没特殊要求的话直接找网孔就可以。一般来讲，就是每次从一个没被包含过的支路找起，找到的回路就是独立回路。

• 联立求解

电路分析的基本定理

叠加定理

将多个电源分开计算其对各个支路的贡献

在线性电路中有多个电源同时作用时, 电路中任何一条支路的电流(或电压), 都等于电路中各个电源单独作用时, 在此支路中所产生的电流(或电压)的代数和.

某个电源单独作用时, 其他电流源$I$置零相当于开路, 其他电压源$U$置零相当于短路

叠加定理只适用于线性电路, 线性电路的电流或电压均可用叠加定理计算, 但功率$P$不能用叠加定理计算, 因为功率不是电压或电流的线性一次函数

等效电源定理

一个有源线性单端口网络,( 有电源的, 只有一个端口的) 对其外电路来说, 总可以用一个等效电源模型来代替, 当等效电源模型为实际电压源时, 称为戴维南定理; 当等效电源模型为实际电流源时, 称为诺顿定理

戴维南定理(求电压的)

任何一个有源二端线性网络(有电源的, 有两个接线端), 都可以用一个电压源和电阻串联来等效代替.

等效电压源的电压等于有源二端网络的开路电压$U_{OC}$, 串联电阻$R_O$等于有源二端网络中所有电源置零(电压源短路, 电流源开路)后所得到的无源二端网络的等效电阻

• 先将需要求解的支路断开, 即分出一个有源二端网络
  • 此时可以计算这个有源二端网络的等效电压源$U_{OC}$
    • 可以使用叠加原理等方法
• 将网络中的电压源短路, 电流源开路
  • 求出这个网络的等效电阻$R_O$
• 将等效电压源和等效电阻串联, 在与需要求的支路串联
  • 求出支路的相关数据

诺顿定理(求电流的)

任何一个有源二端线性网络(有电源的, 有两个接线端), 都可以用一个电流源和电阻并联来等效代替.

等效电流源的电流等于有源二端网络的短路电流$I_{SC}$, 并联电阻$R_O$等于有源二端网络中所有电源置零(电压源短路, 电流源开路)后所得到的无源二端网络的等效电阻

• 先将需要求解的支路短路, 即合出一个有源二端网络
  • 此时可以计算这个有源二端网络的等效电流源$I_{SC}$
    • 可以使用叠加原理等方法
• 将网络中的电压源短路, 电流源开路
  • 求出这个网络的等效电阻
• 将等效电压源和等效电阻并联, 在与需要求的支路并联
  • 求出支路的相关数据