博客围绕服从正态分布的正弦函数、余弦函数期望展开，利用特征函数和欧拉公式进行推导，得出E(cos(tX))和E(sin(tX))的表达式，最后给出特定情况下的结果，还提及在MipNeRF的IPE位置编码中的应用。
服从正态分布的正弦函数期望
服从正态分布的正弦函数、余弦函数期望。
如果X服从均值为 μ \mu μ，方差为 σ 2 \sigma^2 σ2的正态分布，计算sin(X)与cos(X)的数学期望。
利用特征函数(Characteristic Function)Wiki-Characteristic Function，我们知道 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu, \sigma^2) X∼N(μ,σ2)的特征函数为：
φ X ( t ) = E ( e i t X ) = e x p ( i μ t − σ 2 t 2 2 ) = e x p ( − σ 2 t 2 / 2 ) e x p ( i μ t ) \varphi_{X(t)}=E(e^{itX})=exp\left({i\mu t - \dfrac{\sigma^2t^2}{2}}\right)=exp(-\sigma^2t^2/2)exp(i\mu t) φX(t)=E(eitX)=exp(iμt−2σ2t2)=exp(−σ2t2/2)exp(iμt)
根据欧拉公式：
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