经典算法题之（四）------ 最大子序列和

 

       最大子序列和问题

 

       最优的算法逻辑很简单，扫描，如果和>0就继续扫描，刷新一次最大和，如果<0就置0重新累积和：

        int Sum=0;
        int MaxSum;
        for (int i = 0; i < array.size(); ++i)
        {
            if(Sum<=0)
                Sum=array[i];
            else
                Sum+=array[i];
            if(Sum>MaxSum)
                MaxSum=Sum;
        }
        return MaxSum;

         它基于这样一个事实：假设A[i...j]是最大和子序列，暂且叫L，则

1）其左侧和右侧(A[i-1]，A[j+1]，如果存在的话)定然是一个负数，并且其左侧任何一个带A[i-1]或其右侧任何一个带A[j+1]的连续子序列的和必然<=0。

(证明很容易，如果不成立则一定加入了最大和子序列中了)

 

2）A[i] 和 A[j]一定是正数，不然肯定被舍弃了。

 

3）再进一步，从最大子序列的左侧往右侧看，L任意从A[i]开始的连续子序列和必然都是正数，如果考虑到A[i]也是正数，则可以这么说，将L随机“劈”成两半，左侧的和必然>0，不然

       左侧和+右侧和 = 最大子序列和

       若左侧和<0，则右侧和>最大子序列和，那最大子序列就是右侧部分了，没必要加上左侧这个累赘。

       其实右侧也一样。这样一来，随机劈两半，两半必>0。

 

 

       有了上面的积累，我们可以将最大和子序列比作海上的“孤岛”，虽然孤岛上可能还有小水潭，但是总体上是“正的”，任意劈成两半，两半的“和”也是正的（土可以填住水潭）。而孤岛两侧都是“大海”，可能偶尔有一两个“峰顶”，但是不足以填满和孤岛之间的海域。

     （其实就是上述程序中累加和Sum和i轴围成的图形，我也不知道为什么要说得这么复杂。。）

 

       为了找到海上最大的这么一座岛，我们可以这么干，坐着摩托艇从起点出发，如果遇到能填住海水的小岛，我们就拿出照相机拍照刷出来，和上一次拍的小岛比较一下，如果比以前岛要大，就把以前照片扔了，留下这一张（泳裤口袋太小只能装一张照片）。

      这样只要泥土还是多于海水就一直拍照比较一下，一旦发现海水多于泥土了就重新寻找。

       这样我们一定可以越过只散布着零零星星泥土的海域，成功找到最大的岛。（如果只从寻找最大岛这一目的，其实之前的路程都是为了赶路，找到坑坑洼洼之后的大岛）

       但是，对于上面的算法，我们只能做到将最大岛的风景“拍”下来，然后继续前进，因为在到达终点之前我们是不知道这里就是最大的岛，要继续往前填海填土试探，如果海水淹没了所有土地，则计零重新开始。实际上我们之前越过零星泥土的海域都是这么干的，当时我们也将当时的泥土认为是最大的岛，并拍下岛的风景，当遇到海水淹没再前进，遇到更大的岛再拍新的风景（照相机只能保存一张图片）。

 

        所以，明显也能看出上述的算法的缺点是，到达终点时，只能留下最大岛的风景，却不知岛的位置。即知道最大子序列的和值是多少，却不知道最大和子序列是什么。

        如果现在换一个问题：求一个序列的最大子序列。

        则很明显，要加两个笔记本（笔记本很特殊，只能记录一个数字），每次重新记录，看到小岛时，记下将当前小岛位置记录为“最大岛的起点和终点”，如果往后发现岛在变大（岛后面原来有更大的岛），就将终点更新，否则（变小或者直接被海水淹没）终点不变。

         talk is cheap，show codes：

        int Sum = 0;        // 照相机
        int MaxSum;         // 口袋里的照片

        int start,final;    // 两个笔记本

        for (int i = 0; i < array.size(); ++i)
        {
            if(Sum<=0)
          {
             Sum = array[i];
             start = i;
             final = i;
          }   
            else
                Sum+=array[i];
            if(Sum>MaxSum)
          {
             MaxSum=Sum;
             final = i;      // 重新记录小岛的终点
          }
                
        }
        return MaxSum,start,final;