Java面试基础问题之（十五）—— 堆排序有趣的点

1.初始化时，为什么要全部放入完全二叉树中再调整，而不是用put()一个一个插入?

复杂度不同

全部放入再调整，第一个开始调整的节点是第一个非叶子节点，每个节点只需要“向下调整”，调整的最大次数即节点到叶子的“高度”。

一个一个插入，每个节点总是插入在完全二叉树的最后一个节点上，需要“向上”调整，调整的最大次数即节点到根的“深度”。

O(2N) vs O(NlogN)。

具体证明比较简单：

全部放入：高度为h的节点个数为：2^h - 1，调整次数 H-h（H为总高度，节点个数为N的二叉树高度为logN）

平均下来（2^h-1）* (logN-h)累加，h从logN到0，除以N则得到平均次数：O(2N)

一个一个放入：高度为h的节点个数：2^h - 1，向上调整，最多调整次数为h，

平均下来（2^h-1）* h 累加，h从0到logN，除以N则得到平均次数：O(NlogN)

严格证明可以手工计算（高中前n项和问题），或者网上找资料，这里提供一个感性认识：

全部放入时，节点总是“向下调整”，调整的最大次数即节点到叶子的“高度”，完全二叉树整体是个“金字塔”形状，越往下每层节点越多，越往上节点越少，而对于全部放入而言，越下层的节点调整次数越少，越往上调整次数越多。反映在之前的求和公式上即：（2^h-1）* (logN-h)，金字塔底部节点数多（2^h-1大）但距底部近（logN-h小）。金字塔顶部相反。这样导致二者之积总是“有界”的，两个相反的增长趋势可以将放大效应相互抵消。

而一个一个放入时，情况相反。（2^h-1）* h，金字塔底部节点数多（2^h-1大），同时但距根远（h大），这样导致二者之积单调递增，放大效应叠加，从而趋向无穷，其实根据极限的知识也知道，对于（2^h-1）* h 的前h项和，如果是算复杂度（只看数量级）的话，看最后一项即可：（2^h-1）* h = N * logN。

2.向上调整和向下调整策略的正确性

这里顺便说一下二者策略的正确性。

全部放入调整，其实局部策略就是一条：保证每个节点一定小于等于两个孩子（最小堆），而如果真的和左右孩子之一（肯定是和最小孩子）调整了位置才使本节点达到此目的，则那个被交换值的孩子节点的平衡性（小于等于左右孩子）可能被破坏了，所以需要向下递归调整。

这反映在我们向下调整的策略上就是：一直调整到没有和孩子发生交换或者已经触及叶子节点为止。

（注意：不用一定调整到叶子，最后一个非叶子节点的右孩子也不一定存在，这个很坑！！）

那么为什么这样一定就是正确的策略呢？其实这就是最小堆的定义：所有节点都小于等于孩子。

看，多么精妙啊，很多时候我们只是去记策略：从当前往下调整，比孩子大就和孩子交换blablabla......其实这样的“规则”或者策略是为基本的定义服务的，不是这样做就能构造这样的最小堆，而是只有这么做构造出来的堆才具有最小堆的性质。数学中的当且仅当（if and only if）在这里再恰当不过了，

言归正传，之前的问题好像还没有大结局呢：现在假设调整当前节点时，跟左孩子发生了交换，并且递归从左孩子向下调整了m层，则好像我们现在只能得到这条“跛腿”的“人”字型（左长右短）的路径是一定满足最小堆定义的：所有节点都小于等于孩子。那么其他节点呢？能保证下标大于等于当前节点的节点都满足最小堆条件了？

别忘了，我们是一路从第一个非叶子节点调整过来的，倒数第1个调整完了，条件满足；接下来调整倒数第2个，满足了，调整第3个......调整到当前节点时，当前节点之前的节点都满足条件了，他们的满足条件不是“凭空”蹦出来的，第k个是以第k-1个满足为条件推导而来，第k-1个是以第k-2个满足为条件推导而来......而倒数第一个是我们调整的起点，是满足的。所以可以看到，我们调整当前节点时，之前的节点都满足了条件，这是以倒数第一个满足条件为基础递推而来，基石稳固。这多么像我们数学归纳法啊，只要第一个满足条件，后面的满足前后项约束关系，推导出来必然是正确的。

那么，刚才除去“跛腿”的“人”字型（左长右短）的节点满不满足的问题就很明显了，所有当前节点之后的节点，没有经过移动的，都是已经满足条件的。换言之，在调整当前节点之前，其实所有节点（当前节点之后）都已经满足条件了（有序），“跛腿”的“人”字型路径只是为了弥补当前节点进行的破坏活动所进行的修复，之前说：

“只能得到这条“跛腿”的“人”字型（左长右短）的路径是一定满足最小堆定义”

其实现在再回看，应该是只有这条路径经历了平衡——失衡——复衡的过程，其他部分一直是平衡的。

至此，已经很明晰了，调整完当前节点，则当前节点之后（包括当前节点）的“区域”都是有序的，那么调整完树的根时，整棵树就是有序的了。

 

至于插入之后向上调整，其实就比较简单了。在插入到完全二叉树最后一个位置之前，树是有序的，插入后，可能会使其父节点失衡，如果比父亲小（最小堆），则要和父亲交换，这里不用管左孩子（如果有的话），因为如果插入的节点比父亲还要小，则一定比右孩子小，当前节点放上父亲位置之后，一定还是比左孩子小，不会影响左孩子即子树的平衡性（左孩子子树更不用说，都没有碰他们的祖先，怎么会影响到他们的平衡）。

换上父亲的位置后，还要跟爷爷比较，因为现在父亲的位置上换上了比原来更小的值，而爷爷及太爷...是一个比一个小的，现在位置如果没变或者换成了更大的数则祖先一定不用变，但现在换上了更小的数，则有可能影响到他们的平衡。所以要递归向上调整，一直到根即可。

这里深究起来还有2个问题：

① 插入节点后从叶子一路调整到根就结束，其他节点都不用管的吗？ 万一影响到其他节点平衡性怎么办 ？

即除了这条路径上节点，其他区域的节点会受到影响吗？

其实这个问题与其这样问，不如换个方式：什么情况下会影响到一个节点的平衡性（最小堆）？

还是回到最小堆定义：所有节点都小于等于孩子。

可以看到，当前节点满不满足最小堆定义，只和它的孩子和祖先有关。

向上调整时，相对于当前节点，最小堆的节点可以分为两类：一类是我调整路径上的节点，一类是其他节点。前者不用说，我已经调整或者将来调整，对于后者，都可以认为是当前节点的远房表兄。现在就考虑一下，从叶子到根调整时，到底有没有破坏表兄们的平衡性，我们来观察任意一个表兄——即隔壁或者远房树上的一个节点：我调整我的，我一没动你的后代（之前上来的路径上都是我自己的后代），二没动你的祖先——呃，好吧，我动了我爸我爷我太爷...他可能也是你爸,你爷爷你太爷......但是别激动！听我解释！我不是随便动的，每次动他们都是在我一定比他们小的时候才动的，我比他们小，那一定比你们还小，所以我动不动对你们都没有影响。除了我调整的这条路径上的节点，其他所有区域保持原样就好！！

② 这条路径上的节点一定是满足最小堆的吗（递减）

向上调整的策略时，一发现父亲比我大，就把父亲"拉下马"（嘘。。。。我爸是不会看到这个帖子的），然后自己上位，继续向上挑战，如果发现又有比自己大的，一样拉下马，很明显，这样总是能保证最后一个调整的节点满足最小堆性质，但是“身后”路径上的节点呢？ 你只是一味的将他们一个个填坑式的向下拉下马，他们一个个下去以后能保证是父亲比左右孩子小吗？

答案是肯定的。

先来看路径上的孩子，其实从叶子一直到最终停止的地方（父亲比当前节点小，不用调整了），整体上看是将整条路径向下“拉”了一层，然后将插入的值放在最顶端。而这条路径原本就是有序最小堆的一条路径，当然是满足最小堆条件——递减。

再看路径上任意节点的另外一个孩子，之前父亲在位时，父亲比我小。现在父亲被“拽”下来成为了我的兄弟，爷爷成了新》...家长（怎么那么怪异啊。。。。），当然，爷爷肯定比爸爸小，那么现在爷爷在位，我肯定比他大，不会影响到我，故也不会影响到我的孩子。

两个一结合，嗯，对于这条路径本身，调整了完了之后也是符合最小堆定义的。

故① ② 一结合，向上调整时，调整后的路径是符合定义的，其他区域也是符合的（没有变），故策略有效。

 

啰嗦了这么多，其实还是有收获的。可以看到，无论向上还是向下，调整都一定非要调整到根或者叶子，只要不满足调整的条件后就可以停止了，后面不需要检查是否有“例外”出现。这也是最多调整次数的由来。

 

3.能对最小堆任意节点进行update，delete操作吗

update或者delete必然要先查找到该节点，但是最小堆不是排序树，虽然总是满足父亲小于等于孩子，但是左右孩子没有顺序，考虑一个实际问题：如果发现查找值大于当前节点值，接下来该走左孩子还是右孩子？

这一点从二叉树每一层节点的value的“随机”分布也能看出来，上层节点下来时，根本无法决策怎么走，查找的值完全可能出现任意的子树中。

但是考虑到最小堆（完全二叉树）一般都是用数组存储，倒是可以走遍历数组这条路。注意，是遍历，没有任何捷径可走，这样查找的复杂度已经为O(N)。

如果已经保证节点的“值”是唯一的（非常重要），走O(N)查找倒是能够定位位置。接下来考虑更新，更新完成后，该怎么调整呢？

其实，这个问题和之前的向上或者向下调整的理解有很大的关系。

① 等于原值，不动。

② 更新的值比原来的大，则现在的情形和之前考虑的向下调整的情景：考虑一个节点向下调整到某处的情形：上面的路径（到调整点）已经有序，下面等待我去比较调整（如果比我小的话）。

现在条件更友好：向上，从当前节点到根都是有序的，其余的所有区域都是有序的（之前是部分区域），现在更新的值比原来的大，则向上不用调整了（比他们都大），只用向下调整，而且只用一条路径。

③ 更新的值比原来的小，跟之前向上调整的中间任意节点情形一模一样：所有节点都是有序的，只有当前节点不一定。

则和之前一样操作即可：一路调整到根。

不过有个隐含的条件挺扯的，怎么保证更新操作产生的值不会和其他值发生冲突呢，其实这个问题在之前查找时就提到过，但是具体实现应该结合一个hashmap来实现，考虑一个10个ip访问日志中找出前10个ip地址的问题，一般这个问题都是将大文件切分成能够读入内存的小文件后，再使用hashmap进行计数，Key为IP（字符串），Value为出现次数，这样，使用hashmap就达到了保证Key唯一的目的。而最小堆的每个节点也是key+value+left+right的结构，查找定位用key，比较大小用value，这样update总是更新value，然后根据value调整最小堆，key是没有变化的（值没变，节点位置变了）。当然，最后不要忘了讲hashmap中的value也更新了（也可以先更新hashmap再更新堆，当然，最保险的是加锁，做成事务，一起更新）。

再考虑删除，有了上面的基础，查找删除节点的位置很好搞定：判断hashmap.contains(key)为true以后到最小堆数组中O(N)根据该key查找到位置，但是接下来该怎么办呢？

参考之前删除根节点的情况来看，删除后拿最后一个节点填上，向下调整即可。

但是注意，我们可不能直接这么一样搞。因为任意节点都是根节点的后代，即根节点必然是小于等于最后一个节点的，所以只用向下调整（也没法向上不是），而对于非根节点的删除可不一定，我们拿最后一个节点来填坑，但是最后一个节点跟删除的节点的大小关系是不一定的，可能大可能小，可能等于，要分类处理，其实逻辑和上面的更新是一样的：

size--（最后一个删掉，方式现在向下删除可能和最后一个节点发生交换，当然，一般向下调整的逻辑都是都是当前值 > 孩子才交换，不会包含等于，所以也不会发生问题）

如果等于：不动即可，最简单。

如果大于：可以归结为上面的更新了一个大于原值的值——向下调整到叶子即可。

如果小于：归结上面的更新了一个小于原值的值——向上调整到根即可。

可以看到，update或者delete查找的复杂度都是O(N)，调整则要视大小而定，如果平均来看：各1/2（可千万不能认为等于小于大于的概率各1/3，确切地说，等于的概率为0）。

则每一层节点向上和向下都是1/2，其实就成了之前算了向上调整法和向下调整法建树的计算，所以更新或删除的复杂度为：

O(2N+NlogN)/2 /N= O(2+logN)

相对于其他需要维护的有序表，复杂度还是低一些，当然，平衡二叉树可以达到此复杂度。