Box plot (箱形图) 中 quartile (四分位数)原理，及python_matplotlib中Q1和Q3定义的不同

1. 首先介绍Boxplot（箱形图）的定义，这里参考：Understanding Boxplots，非常精彩的一篇介绍boxplot的博文。

该图片显示的即是一个boxplot的基本组成部分， 它由5个基本数值决定，即 最小值 (minimum); 下四分位数 (first quartile, Q1); 中值或中位数 (median)， 或第二个四分位数 (second quartile, Q2); 上四分位数 (third quartile, Q3); 最大值 (maximum)。 

其它定义：四分位间距 (interquartile range, IQR), 表示下四分位数Q1和上四分位数Q3的间距; 盒须 (wiskers), 上图中蓝色的延伸线，长度为1.5*IQR, 分为两段，分别是Q1延伸至minimum, Q3延伸至maximum; 离群值 (outliers), 上图中绿色的点，表示小于minimum的值和大于maximum的值。

这里需要注意，boxplot是用于显示数据分散情况的图，其中的minimum和maximum很可能不表示数据集中的最小、最大点，而是由Q1、Q3、IQR决定， 而不分布于[minimum, maximum]的点视为outlier.

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2. 接下来介绍三个四分位数Q1、Q2和Q3的具体取值情况，这里部分参考：Wikipedia: Quartile  维基百科。

Q2，即median的取值比较简单，设n表示数据集中点的数目，a为该数据集的升序数组.

这里分为两种情况：

• n = 2 * i + 1,  即数据点个数为奇数 (odd number), median (Q2) = a[i]
• n = 2 * i, 即数据点个数为偶数 (even number), median (Q2) = a[i-1] * 0.5 + a[i] * 0.5

Q1和Q3的取值，根据Wikipedia: Quartile上的解释，还没有通用的取值。

上面介绍了3种主要的取值方法，需要先将点的数量n分为4种情况：

• n = 4 * i, 即数据点个数为偶数，将其平分后，每一份的个数仍是偶数；
• n = 4 * i + 2, 即数据点个数为偶数，  将其平分后，每一份的个数为奇数；
• n = 4 * i + 1, 即数据点个数为奇数，先将其去除中值Q2, 再平分后，每一份的个数为偶数；
• n = 4 * i +3, 即数据点个数为奇数，先将其去除中值Q2, 再平分后，每一份的个数为奇数。

3种方法对于Q1和Q3的具体取值为：

当n为偶数时，3种方法对于Q1和Q3的取值均相同，即先将a等分为下半 (lower half) 和上半 (upper half)（不去除用于计算中值的两个数），等分之后的数组再分别计算中值，Q1为下半的中值，Q3为上半的中值。

若 n = 4 * i， Q1 = a[i-1] * 0.5 + a[i] * 0.5; Q3 = a[3*i-1] * 0.5 + a[3*i] * 0.5

若 n = 4 * i + 2, Q1 = a[i]; Q3 = a[3*i+1]

3种方法对于Q1和Q3的取值不同体现在当n为奇数时：

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Method 1：对其等分为下半和上半时，两个数组均不包含中间的那个中值，Q1为下半的中值，Q3为上半的中值:

若n = 4 * i + 1, Q1 = a[i-1] * 0.5 + a[i] * 0.5; Q3 = a[3*i] * 0.5 + a[3*i+1] * 0.5

若n = 4 * i + 3, Q1 = a[i]; Q3 = a[3*i+2]

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Method 2: 对其等分为下半和上半时，两个数组均包含中间的那个中值，Q1为下半的中值，Q3为上半的中值： 

 若n = 4 * i + 1, Q1 = a[i]; Q3 = a[3*i]

 若n = 4 * i + 3, Q1 = a[i] * 0.5 + a[i+1] * 0.5; Q3 = a[3*i+1] * 0.5 + a[3*i+2] * 0.5

 

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Method 3: 对其等分为下半和上半时，两种情况下，一种两个数组均包含中间的那个均值，另一种两个数组均不包含中间的那个中值，使两个半数组中数值个数为偶数，Q1、Q3分别为下半和上半中间值的权值，不是中值。

若n = 4 * i + 1, 两个数组不包含中间那个中值，此时method 3和method 1相似，不过权值分别为0.25和0.75，不是0.5和0.5

Q1 = a[i-1] * 0.25 +