“Bus Pass（公交车通票），ZOJ2913”的一种解法

一、题目

1.1题目编号：ZOJ2913

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2913

（注：今天是2016/6/25，最近三周，ZOJ似乎都登录不了，本程序未经ZOJ测试！）

1.2题目描述：

你乘坐公共汽车途经一些地区，旅程费用为每张车票费用的总和。因此，你想知道如果买通票的话是否要优惠一些。

你的国家的公交系统按如下方式运转：当你买一张公共汽车通票时，你必须指定一个中心地区，以及一个星形阈值；当你持通票在某个地区乘坐公共汽车时，只要该地区离中心地区的距离（并不是路程的距离，而是路程上地区数目）小于星形阈值，则可以免费乘坐。例如，如果你选择的星形阈值为1，则你只能在中心地区免费乘坐公交汽车；如果你选择的星形阈值为2，则在中心地区及与中心地区相邻的地区里都可以免费乘坐公交汽车；等等。你列出了你经常要乘坐的公交线路，你希望能确定一个最小的星形阈值，使得所有的公交线路在通票范围内都是免费的。但这并不是一件容易的工作。例如，下图所示的地区分布图：

你想乘坐公交车从A 到B，以及从B 到D。则最好的中心地区编号为7400，这样你需要选择的阈值为最小值4。注意，在你的公交线路中并不需要途经你选择的中心地区。

 

1.3输入描述

输入文件的第1 行为一个整数T，1≤T≤100，表示输入文件中测试数据的数目。每个测试数据的格式如下（见上图右侧）：

第1 行为两个整数：nz(2≤nz≤9999)和nr(1≤nr≤10)，分别表示地区的数目和公交线路的数目。

接下来有nz 行，描述了每个地区。每行首先是两个整数：idi(1≤idi≤9999)和mzi(1≤mzi≤10)，分别表示第i个地区的编号和与该地区相邻的地区数目，然后是mzi个整数，分别是与该地区相邻的地区的编号。

接下来有nr 行，描述了每条公交路线。每行首先是一个整数mri(1≤mri≤20)，表示第i条公交线路途经的地区数目，然后是mri个整数，表示该线路通过的地区的编号，按照该线路的途经顺序排列。

所有地区之间都是连通的，直接连接或通过其他地区连接。

 

1.4 输出描述

对输入文件中的每个测试数据，输出一行，为两个整数，分别表示最小的星形阈值和取得最小阈值的中心地区的编号。如果存在多个符合要求的中心地区，则输出编号最小的中心地区。

如上图右侧所示的输入，得到的输出如下：

4 7400 

 

二、思路

题目中有两个值得注意之处：

A. 该地区离中心地区的距离（并不是路程的距离，而是路程上地区数目）小于星形阈值时，则可以免费乘坐。

B. 所有地区之间都是连通的，直接连接或通过其他地区连接。

       对照地图分析后可以发现，其实是每个区域与其相邻的区域都连通，而且其相邻区域恰好将该区域与外界完全隔开。

简而言之，题目是个怎样买通票最划算的问题。具体而言，我们面临着两个问题，一是选定中心区，二是确保该中心区到公交线路经过区域（后面简称车站区）的最大距离最小（说起来有些拗口，但意思应该还是很明确的）。

最直截了当的思路就是：假设任意一个地区做为中心区，然后计算其到各个车站区的距离，保存其最大值。算完所有区域后，最大值最小的区域就是中心区。 

在这里，我们可以做一次逆向思维。以车站区为出发点，计算其到地图上全部可到达区域的距离值。这样一下子就可以减轻很大计算量（起始位置从全部区域减少为所有车站区）

具体描述如下：

1.从车站区起点A出发，依次计算其它每个区域到其的距离。由于上述的相邻关系，必然可以到达每个区域，这样每个区域都有了到到达A的距离。这是一种广度优先的思想（BFS）。即车站区A本身的距离记为1，与A相邻的区域距离为2，再往外围则是3…

2.然后再从B出发，做同样的操作。如果B点到达某区的距离大于A，则保留较大的值（因为通票的计算原理就是，计价以到最远车站为准）。

3.依次计算完所有车站区。

4.分析每个区域保留的距离值，最小值即为所求，对应的区域即为中心区。

 

在实现BFS的时候，即是将与该区域相邻的区域都入列（排除之前已经访问过的区域，以免构成死循环）这里需要用两个队列来实现（记为q[0]和q[1]），因为算法需要像水波一样逐层向外层推进，需要先把紧邻当前的一圈地区都处理完之后，在处理更外层的一个圈。这种水波推进的实现方法，其实就是交替对两个队列q[0],q[1]进行操作，即在处理q[0]中元素时，把下一步要入列的都放进q[1]中，这样就达到了隔离的效果。

 

坑：

题中并没有提及地区的编号是连续的。只能认为nz个地区的编号分布在0～9999之间。所以只能设定一个大小为10000的数组NeighbourNum[]来记录对应地区的相邻区域数量，即编号为j的地区，其相邻地区数量为NeighbourNum[j],且其相邻区域ID保存在另一个二维数组NeighbourID[j][]中。

  

三、解答

完整程序如下（注：今天是2016/6/25，最近三周，ZOJ似乎都登录不了，本程序未经ZOJ测试！若实测中出现问题，还望高手指出，此处仅是抛砖引玉）。

/*
Bus Pass ZOJ2913
http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2913
2016.06.08 Shower by Pospro
详见博客 http://blog.youkuaiyun.com/pospro
*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <string.h>
#include <limits.h>
#define ZMAX 10000 //地区编号最大值
#define INF 100000
using namespace std;

int nz,nr,ns; //地区数目，公交线路数目, 每条公交线上车站数目
int neighbourNum[ZMAX]; //编号为j的地区，其相邻地区的数量为NeighbourNum[j]
int neighbourID[ZMAX][10];//编号为j的地区，其相邻区域ID保存在NeighbourID[j][]中
int checkBy[ZMAX]; //设所有车站从0开始编号，若区域j已被从0号车站起始的BFS扫描过，则checkBy[j]=0
int gapNum[ZMAX]; //id为j的地区距离车站区的最大距离记录在 gapNum[j]中
int cur; //只是一个游标，记录当前的BFS是从哪个车站开始的，起始值为0


int getMax(int x, int y)
{
    return (x>y)?x:y;
}

void BFS(int id)
{
    int dist=1;
    int a=0;
    int b=1;  //通过a、b可以灵活地在两个队列间的切换
    int i;
    int curID;
    int nextID;
    queue<int> q[2]; //不要定义成全局的，这样就可以自动完成初始化

    checkBy[id]=cur;
    gapNum[id]=getMax(gapNum[id],dist);
    q[a].push(id);

    while(!q[a].empty())
    {
        swap(a,b);

        while(!q[b].empty())
        {
            curID=q[b].front();
            q[b].pop(); //因为front本身不会删除元素，所以还得pop一下

            for(i=0; i<neighbourNum[curID]; i++) //从当前区域出发，把与其相邻的地区入列
            {
                nextID=neighbourID[curID][i];
                if(checkBy[nextID]<cur) //个人觉得!=号也可以，如果已被当前车站扫描过，则跳过无需入列
                {
                    q[a].push(nextID); //加到外层循环，不影响本层
                    //发现可到后，必须立刻设置cur，否则就会重复扫描
                    checkBy[nextID]=cur;  //确认curID区域已被cur号车站扫描过
                    gapNum[nextID]=getMax(gapNum[nextID],dist+1); //原先保存的值、到cur车站的距离，两者保留比较大的
                }
            }
        }
        dist++; //当把相邻区域都入列之后，其距离就增大了
    }
}

int main()
{
    int T;//测试数据的组数
    int i,j,t;
    int zoneID; //地区编号
    int stationNum; //每条公交线路经过的地区数目
    int gap, center; //最小星型阈值、及对应地区号

    scanf("%d",&T);
    for(t=0;t<T;t++)
    {
        memset(checkBy,-1,sizeof(checkBy));
        memset(gapNum,0,sizeof(gapNum));
        memset(neighbourNum, 0, sizeof(neighbourNum));
        memset(neighbourID, 0, sizeof(neighbourID));

        cur=0; //记录当前进行遍历的车站号，从0开始编码，只是一个标志，用于区别历次BFS
        scanf("%d%d",&nz,&nr);
        for(i=0;i<nz;i++)
        {
            scanf("%d",&zoneID);
            scanf("%d",&neighbourNum[zoneID]);
            for(j=0;j<neighbourNum[zoneID];j++)
                scanf("%d",&neighbourID[zoneID][j]);
        }
        for(i=0;i<nr;i++)
        {
            scanf("%d",&ns);
            for(j=0;j<ns;j++) //从每个车站区开始，做一次BFS
            {
                scanf("%d",&zoneID); //zoneID变量可以重复利用
                BFS(zoneID); //从每条公交线路的起点开始BFS
                cur++;
            }
        }
        gap=INT_MAX;
        center=-1;
        for(i=0;i<ZMAX;i++)
        {
            //由于ID号的不连续分布，起始gapNum数组中只有很小部分有意义
            //通过checkBy[i]==cur-1这一句可以避开很多无用数据
            if(checkBy[i]==cur-1&&gapNum[i]<gap)
            {
                gap=gapNum[i];
                center=i;
            }
        }
        printf("%d %d\n",gap,center);
    }
    return 0;
}