求最大公约数——算法设计与分析基础随笔（一）

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本文介绍了求解两个数最大公约数（GCD）的算法，包括欧几里得算法的递归原理及传统计算方法。同时讨论了通过质因数分解寻找GCD的挑战，并提及了埃拉托色尼筛法在寻找质因数中的应用。

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求两个数m和n的最大公约数，方法有很多种，最容易想到的就是遍历到min(m, n)为止，找出最大的公约数，再进行剪枝，遍历到min(m, n)的平方根为止。方法有很多，上述两种只是最简单的，也是最没有技术含量的，接下来记录的是一些较为巧妙的方法。

算法出自古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》，这本书里面讲解了一个简单的公约数的算法。用现代数学的术语来表示，欧几里得算法采用的方法就是递归下列等式，直到m mod n等于0：

gcd(m, n) = gcd(n, m mod n) (m mod n 表示m除以n之后的余数)

一般传统的计算gcd(m, n)的算法如下：

第一步：将min(m, n)的值赋给t；

第二步：m除以t，如果余数为0，则进入第三步；否则进入第四步；

第三步：n除以t，如果余数为0，返回t的值作为结果；否则进入第四步；

第四步：t = t - 1；返回第二步。

注意这个算法有一个输入的要求，不可以输入0，因为输入0的话t会等于0，也就会报错。

实现的代码如下：

    private int gcd(int m, int n) {
        int result = 1;
        int t = Math.min(m, n);

        if (t == 0) {//筛选出输入有问题的输入
            retu