数据结构随笔——二叉树和五个重要性质

二叉树是最常用的数据结构之一，笔者过去一直将关注点放在复杂的树结构（例如红黑树，自平衡树），认为那些才是树的重要应用，但当重新由基本看起，才发现树的基本定中就隐藏着树这一结构的精髓。尽管是些浅薄蠢笨的理解和推演，但笔者还是满怀兴奋的想要将它记录下来。

一、二叉树的定义

二叉树的定义不用多说，很多书本上都有明确的定义，但有些细节是笔者过去所没有注意的，先给出殷人昆教授对于二叉树的基本定义——

二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。

可以看出二叉树的定义是递归的，根结点的子树仍然是二叉树，到达空子树时递归定义结束。
一般来说，关于树的术语对于二叉树都是适用的，但应该明确的是二叉树不是树，理由如下：
- 树在图论中被视为用n-1条边连接n个结点的的特殊的图。图的顶点结合非空，故树的顶点非空。图论中另外定义了N叉树，它可以是空树，二叉树属于N叉树。
- 非空二叉树有根，根结点的子树有左右之分，次序不能颠倒；若其中一棵子树为空，则另一棵子树也必须保持左右之分。树可以没有根（自由树）；即使有根，其子树也没有这种区分。

那么，这就出现一个问题——二叉树的叶结点无子女，是否可称它为无子树？
根据定义，应该是不能的，因为可认为叶子点的左右子树为空子树。
虽然认识这一区别的目的并非应试，但笔者还是提一句：个人认为在一般的测试中未必会考察到这么细致，所以遇到忽略这一细致区别的出题人时请不要过于惊讶。

二、二叉树的性质

接下来的描述中有必要用到一些数学符号，在Markdown中不好画出，因此我们再次规定一些符号——
- ａ＾ｂ—— a的b的次方 （计算机常用，无需多言）
- int_UP（）—— 向上取整（即去掉浮点数的小数部分，然后将整数部分加1）
- int_DOWN（）—— 向下取整（即去掉浮点数的小数部分，只留整数部分）