Yet Another mod M

原创已于 2023-10-23 21:58:58 修改 · 134 阅读

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#随机化

于 2023-10-23 21:57:40 首次发布

本文介绍了一种利用随机化策略解决绝对值差的模分解问题的算法，通过多次随机选择元素，提高找到质因数的概率，从而降低时间复杂度。代码展示了如何实现这一过程，目标是寻找两个数差的质因数，如果符合条件则输出质因数，否则返回-1。

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引

总结一下， $绝对众数 = 随机化$ ,虽然这么说有点套路，但还是多这么想想

解法

如果有答案，我们随机一个数 $a_i$ , 那么 $a_i$ 满足 $a_i =x \quad(mod \quad M)$ 的概率大于 $50\%$ , 所以我们随机 $20$ 及以上次 $a_i$ ,再随机一个 $a_j$ 也满足条件，那么 $M\quad|\quad(|a_i-a_j|)$ ,对 $a_i-a_j|$ 进行质因子分解即可
时间复杂度 $O(T^2n \log{n})$ , $T$ 为随机的次数

Code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=5e3+7;

int n;
int a[N];

int main(){
    srand(10086001);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int _=1;_<=52;_++) {
        int i=(rand()%n)+1;
        for(int j=1;j<=40;j++) {
            int k=(rand()%n)+1;
            int res=abs(a[i]-a[k]);
            for(int t=3;t*t<=res;t++) {
                if(res%t==0) {
                    while(res%t==0) res/=t;
                    int cnt=0;
                    if(t<=2) continue;
                    for(int l=1;l<=n;l++) {
                        if(a[l]%t==a[i]%t) {
                            cnt++;
                            if(cnt*2>n) break;
                        } 
                    }
                    if(cnt*2>n) return printf("%d\n",t),0;
                }
            }
            if(res>2) {
                int cnt=0;
                for(int l=1;l<=n;l++) {
                    if(a[l]%res==a[i]%res) {
                        cnt++;
                        if(cnt*2>n) break;
                    } 
                }
                if(cnt*2>n) return printf("%d\n",res),0;
            } 
        }
    }
    puts("-1");
}