The Maximum Prefix

题目

引

在某些思想上跟 $象棋$ 那道很相似
虽然可能只有我这样认为

解法

倒序进行加数的过程，那么当你倒序加入了一个数后。若为 $1$，则 $S+1$； 若为 $-1$,则为 max ⁡ { 0 , S − 1 } \max\{0,S-1\} max{0,S−1}
那么设计 $DP$状态后，就发现 $f_{i,j}$ 由 $f_{i+1,j+1}$ 和 f i + 1 , max ⁡ { 0 , j − 1 } f_{i+1,\max\{0,j-1\}} fi+1,max{0,j−1}​转移而来
但是对于每一个关于 $k$ 的询问，我们都会单独算一轮；
可我们可以优化，写出具体的转移式：
f i , j = p i + 1 f i + 1 , j + 1 + ( 1 − p i + 1 ) f i + 1 , max ⁡ { 0 , j − 1 } f_{i,j} =p_{i+1} f_{i+1,j+1}+(1-p_{i+1})f_{i+1,\max\{0,j-1\}} fi,j​=pi+1​fi+1,j+1​+(1−pi+1​)fi+1,max{0,j−1}​
在写出 $f_{i+1,j+1}......$的转移式，就会发现我们可以求出每个 $f_{i,j}$ 系数，当询问 某个 $k$ 时，就相当于令 $f_{k,0}=1$ ,再带入 $f_{k,0}$ 的系数即可，我们用动态规划求出系数即可，转移于 $f$的转移类似

#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e3+7;
const  ll mod=1e9+7;
int n;
ll f[N][N];
struct st { ll p,q; } p[N];
ll qpow(ll ba,ll pow) {
    ll res=1; while(pow) {
        if(pow&1) res=res*ba%mod;
        ba=ba*ba%mod,pow>>=1;
    } return res;
}
int main() {
    int T; scanf("%d",&T); while(T--) {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            ll x,y,z;
            scanf("%lld%lld",&x,&y),z=(y-x),y=qpow(y,mod-2);
            p[i].p=x*y%mod,p[i].q=z*y%mod;
        }
        for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j<=n;j++) f[i][j]=0;        
        for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lld",&f[0][i]);
        for(int i=0;i<n;i++) {
            for(int j=0;j<=n-i;j++) {
                if(!j) f[i+1][0]=(f[i+1][0]+f[i][j]*p[i+1].q%mod)%mod,f[i+1][1]=(f[i+1][1]+f[i][j]*p[i+1].q%mod)%mod;
                else f[i+1][j-1]=(f[i+1][j-1]+f[i][j]*p[i+1].p%mod)%mod,f[i+1][j+1]=(f[i+1][j+1]+f[i][j]*p[i+1].q%mod)%mod;
            }
            printf("%lld ",f[i+1][0]);
        }  
		puts("")  ;
    }
}