从零开学java——二叉树

树

树形结构：

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
• 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m)又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
• 树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

树的概念：

 

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6

树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林 

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二叉树

概念：

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空

2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树不存在度大于2的结点。 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 2的k次方-1 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。 

 

二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：

• 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
• 若2i+1，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
• 若2i+2，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

创建一个简单的二叉树：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        TreeNode<Character>a=new TreeNode<>('A');
        TreeNode<Character>b=new TreeNode<>('B');
        TreeNode<Character>c=new TreeNode<>('C');
        TreeNode<Character>d=new TreeNode<>('D');
        TreeNode<Character>e=new TreeNode<>('E');

        a.left=b;
        a.right=c;
        b.left=d;
        b.right=e;

        System.out.println(a.left.left.element);
    }

    public static class TreeNode<E>{
        public E element;
        public TreeNode<E> left,right;

        public TreeNode(E element){
            this.element=element;
        }
    }
}

//输出D