1 的数目（编程之美2.4）——我的方法

题目如下：

 一、初步思路

 

先按照题目，简单写下几组数字观察分析一下。

 通过观察，我们发现：对于两位数而言，影响“1”的数目的因素主要表现在红色和蓝色标记的地方。

 

下面我们再写一些三位数的数字观察分析一下。

通过观察，我们发现：第五组灰色阴影标识的部分除了最高位，其他的和前面是重复的；对于101~199，最高位的“1”是不需要计算的，而除去最高位，剩下的部分则在二位数的情形中已经计算过了。对于201~999，最高位数字对于“1”的计算没有影响，因为它们不含“1”，而除去最高位的部分，则和二位数的情形一样。

 

二、特例研究

 

通过上面的分析，我们发现，“1”的数目和数字的位数是有关系的，和最高位的数字也是有关系的，另外，除去最高位部分，剩下的数字中“1”的个数的情形在前面已经出现过了。

 

另一方面，我们也发现，1~9，1~99， 1~999，1~9999……这些特殊范围中，数字“1”出现的次数是有规律的，总结一下就是：如果k = 999……999一共有m位，那么1~k中数字“1”出现的次数为b_m= m * 10^m-1。

 

现在我们继续使用上面几组数字(假设数字的位数是3)：

1. 如果最高位是“1”，不妨设我们写下的数字是132，那么我们可以分为三部分来考虑：

(1)先算出1~99中数字“1”出现的次数；

(2)在100~132中，数字“1”在最高位共出现了33次；

(3)101~132除去最高位部分的数字中，数字“1”的个数和1~32中数字“1”出现的次数是一样的，我们可以利用递归来解决它。

2.如果最高位大于“1”，不妨设我们写下的数字是372，那么我们还可以分为三部分来考虑：

(1)在1~300中，“1~99”(以及“01~99”)共出现了3次；

(2)百位数字出现数字“1”的情形只在100~199中；

(3)在301~372除去最高位部分的数字中，数字“1”的个数和1~72中数字“1”出现的次数是一样的，我们可以利用递归来解决它。

三、公式提取

 

按照上述方式，我们再分析一下四位数的情形，就可以发现基本规律了。

 

设从1开始写，写到K，K的形式为：a_ma_m-1……a₂a₁

则有下述公式：

 

公式中，有关b_m的定义请查看上一节。

 

四、算法实现

 

#include<math.h>

int count_number(int N)
{
    if(0 == N)    return 0;
    if(N <= 9 && N >= 1)    return 1;
    
    int m = 0, h;    //m用来存储位数，h用来存储最高位数字
    int tmp = N;
    while(tmp)
    {
        m++;
        h = tmp % 10;
        tmp = (int)(tmp / 10);
    }

    int tmp_1 = (m - 1) * pow(10, m - 2);
    int tmp_2 = N - h * pow(10, m - 1);

    if(1 == h)    return (tmp_1 + tmp_2 + 1 + count_number(tmp_2));

    return (h * tmp_1 + pow(10, m - 1) + count_number(tmp_2));
}

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后记：

这是我在博客写的第一篇文章。我是尽量按照自己当时的思考过程来写的，也不知道这篇文章表述清楚了没有，如果大家读得很费劲，请多多包涵，O(∩_∩)O~。如果有什么错误，也请大家在回复中指出，我会修改的。

算法用到了递归，后来读了一下《编程之美》上面给出的方法，觉得自己水平还是差了很多啊，需要继续努力，O(∩_∩)O~。

好了，就写到这里吧。