图的最短路径算法

最短路径问题的抽象

在网络中（带权图），求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径。

• 这条路径就是两点之间的最短路径（Shortest Path）
• 第一个顶点为源点（Source）
• 最后一个顶点为终点（Destination）

最短路径问题，其实不是一个问题，而是一套问题，这一套问题至少可以分为两大类：

• 单源最短路径问题：从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径。
  
  • 无权图
  • 有权图
• 多源最短路径问题：求任意两顶点间的最短路径。

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无权图的单源最短路算法

• 按照递增的顺序找出到各个顶点的最短路
• 将BFS搜索算法修改成为无权图单源最短路算法，其中dist[ W ]表示S到W的最短距离。由于dist[] 初始化时可以设置为一个特别的数，所以dist[ W ]还可以用来标识W是否已被访问过。Path[ W ],S到W的路上经过的某顶点

void BFS ( Vertex V ) {
    visited[ V ] = true;
    Enqueue( V, Q );
    while ( !IsEmpty( Q ) ){
        V = Dequeue( Q );
        for ( V的每个邻接点W ){
            if ( !visited[ W ] ){
                visited[ W ] = true;
                Enqueue( W, Q );
            }
        }
    }
}

修改为：

 void Unweighted( Vertex S ){
      Enqueue( S, Q );
      while ( !IsEmpty( Q ) ){
          V = Dequeue( Q );
          for ( V的每个邻接点W ){
              if( dist[ W ] == -1 ){ //如果W被访问过，dist[W]显然不可能为-1
                  dist[ W ] = dist[ V ] + 1;
                  path[ W ] = V;
                  Enqueue( W, Q );
             }
          }
      }
  }

利用Path[ ]和堆栈，可以推出S到D经过的路径。
时间复杂度：T = O（V + E）
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有权图的单源最短路算法
Dijkstra算法

待续