树与二叉树的概念

概念与定义：

• 树的层数：
  
  • 树根为第一层，其孩子为第二层，孙子为第三层。
• 树的深度：
  
  • 树中结点的最大层数称为树的深度。
• 满足以下两个条件的树称为二叉树（Binary Tree）
  
  • 每个结点的度都不大于2（度即为孩子数）
  • 每个结点的孩子结点次序不能随意颠倒
• 满二叉树：
  
  • 每一层都是满的，即第i层有$2^{i-1}$个结点，则是满二叉树
  • 若除最下面一层结点度数0外，其余结点度数均为2

• 完全二叉树：

  • 如果一个二叉树各层都是“满”的，只是最下面一层从右边起连续缺n个结点，这种二叉树叫做完全二叉树。

  Note:二叉树是有序树，因此不是所有满足结点度数不大于2的树都是二叉树。

有用结论：

• 树的结点数n和分枝数b的关系为：b=n-1
• 二叉树第i层上至多有$2^{i-1}$个结点
• 深度为k的二叉树上至多含$2^{k}-1$个结点
  （$2^0+2^1+2^2+...+2^{k-1}=2^k-1$）
• 对任何一棵二叉树，若它含有$n_0$个叶子结点，$n_2$个度数为2的结点，则必存在关系式：$n_0=n_2+1$
  证明：
  设 二叉树上结点总数： $n=n_0+n_1+n_2$
  再根据树的性质： $b=n-1=n_0+n_1+n_2-1$
  由有二叉树分支总数： $b=n_1+2n_2$
  两式右边相等得: $n_0=n_2+1$
• 层数为k的完全二叉树的结点数量n满足关系：
  $2^{k-1}-1\leq n \leq 2^k-1$
  即n值大于深度为h-1的满二叉树的结点数，但小于或等于深度为h的满二叉树的结点数。
• 若按层编号，
  对于完全二叉树中任一个编号为i的结点(1≤i≤n)，它的父结点和左、右儿子结点的编号与i值有如下的关系：
  1) 如果i=1，则它是整个树的根结点，无父结点；若i>1，则其父结点编号为$\lfloor i/2 \rfloor$。
  2) 如果2i≤n，则其左儿子结点编号为2i；若2i>n，则无左儿子结点。
  3) 如果（2i+1）≤n，则其右儿子结点编号为（2i+1）；反之，则无右儿子结点。
• 具有n个结点的完全二叉树深度为：$k=\lfloor log_2n \rfloor+1$
  证明: 设完全二叉树的深度为 k
  则根据性质2得 2k-1 -1 < n ≤ 2k -1
  则 2k-1 ≤ n < 2k
  即 k-1 ≤ log2 n < k
  k 只能是整数,因此: $k=\lfloor log_2n \rfloor+1$