简析中国剩余定理

最新推荐文章于 2021-07-15 17:57:22 发布

Patrickpwq

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中国剩余定理用来解决同余方程组

比如

x≡ m1(mod p1)
x≡ m2(mod p2)
………
x≡ mk(mod pk)

现在要求出的x是满足上面所有的限制的也就是说x%p1要等于m1，而且x%p2也要等于m2.....

设M=p1*p2*...*pk,Mi=M/pi

则

$x = \sum_{i=1}^k a_i \cdot M_i \cdot {M_i}^{-1} + t\cdot M$

因为你把之前的所有限制代入这个式子发现都是成立的比如代入第一个由于 $M_1 \cdot M_1^{-1}$ 相乘为1(mod p1下)

而其他 $M_i\cdot M_i^{-1}$ 模p1都是0(因数里有p1) 所以解出来结果就是m1

#include<iostream>
#define ll long long
#define N 15
using namespace std;
int n;
ll p[N],m[N];
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1; y=0;
		return a;
	}
	ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll temp=x;
	x=y;
	y=temp-a/b*y;
	return r;
}
inline ll inv(ll a,ll p)
{
	ll x,y;
	ll r=exgcd(a,p,x,y);
	return (x%p+p)%p;
}
void CRT()
{
	ll M=1,ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) M*=p[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll Mi=M/p[i];
		ll Mii=inv(Mi,p[i]);
		ans=(ans+Mi*Mii*m[i])%M; 
	}
	cout<<ans;
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin>>p[i]>>m[i];
	CRT();
	return 0;
}