简析中国剩余定理

中国剩余定理用来解决同余方程组

比如

x≡ m1(mod p1)
x≡ m2(mod p2)
………
x≡ mk(mod pk)

现在要求出的x是满足上面所有的限制的 也就是说x%p1要等于m1，而且x%p2也要等于m2.....

设M=p1*p2*...*pk,Mi=M/pi

则

 

因为你把之前的所有限制代入这个式子 发现都是成立的 比如代入第一个 由于相乘为1(mod p1下)

而其他模p1都是0(因数里有p1) 所以解出来结果就是m1

#include<iostream>
#define ll long long
#define N 15
using namespace std;
int n;
ll p[N],m[N];
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1; y=0;
		return a;
	}
	ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll temp=x;
	x=y;
	y=temp-a/b*y;
	return r;
}
inline ll inv(ll a,ll p)
{
	ll x,y;
	ll r=exgcd(a,p,x,y);
	return (x%p+p)%p;
}
void CRT()
{
	ll M=1,ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) M*=p[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll Mi=M/p[i];
		ll Mii=inv(Mi,p[i]);
		ans=(ans+Mi*Mii*m[i])%M; 
	}
	cout<<ans;
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin>>p[i]>>m[i];
	CRT();
	return 0;
}