埃拉托斯特尼筛法

简介:埃拉托斯特尼筛法(Sieve of Eratosthenes)是一种高效计算素数的算法,它能够找出小于等于某个整数 nnn 的所有素数。该算法的基本思想是通过不断筛选合数(非素数)来获取素数,从而避免了对每个数逐一检查是否为素数的过程。

例:

#include <iostream>
using namespace std;

// 计算 1 到 a 之间的素数个数
int Yanhongyan(int a)
{
    bool b[a + 1]; // 布尔数组,用来标记是否为素数
    for (int i = 0; i <= a; i++)
    {
        b[i] = true; // 假设所有数是素数
    }
    b[0] = b[1] = false; // 0 和 1 不是素数

    // 埃拉托斯特尼筛法
    for (int i = 2; i * i <= a; i++)
    {
        if (b[i])
        {
            for (int j = i * i; j <= a; j += i)
            {
                b[j] = false; // 标记 i 的倍数为非素数
            }
        }
    }

    // 统计素数的个数
    int sum = 0;
    for (int i = 2; i <= a; i++)
    {
        if (b[i])
        {
            sum++; // 如果是素数,计数加一
        }
    }

    return sum; // 返回素数个数
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t; // 输入测试用例的个数

    // 对每个输入的值输出其对应的素数个数
    while (t--)
    {
        int n;
        cin >> n;                      // 输入每个测试用例的值
        cout << Yanhongyan(n) << endl; // 输出对应的素数个数
    }

    return 0;
}

 

输入为:4
              5
              10
              20
              100

运行结果:

算法步骤:

  1. 初始化:创建一个布尔数组 isPrime,其中 isPrime[i] 表示数字 i 是否为素数。将数组中所有元素初始化为 true,并将 isPrime[0]isPrime[1] 设置为 false(因为 0 和 1 不是素数)。
  2. 筛选过程
    • 2 开始,检查每个数字。如果该数字是素数,则将它的所有倍数标记为非素数(false)。
    • 2 开始标记所有倍数为 false,继续到平方根范围的数字。因为对于任何一个大于 sqrt(n) 的素数,它的倍数都会在之前被处理过。
  3. 输出结果
    • 最终,isPrime[i]true 的位置表示 i 是素数。
### 埃拉托斯特尼筛法的流程图和实现步骤 埃拉托斯特尼筛法是一种经典的素数筛选算法,其核心思想是通过逐步剔除已知素数的倍数来找出范围内的所有素数。以下是详细的实现步骤: 1. **初始化布尔数组** 创建一个长度为 $ n+1 $ 的布尔数组(例如 `is_prime`),初始时将所有元素设置为 `true`,表示假设所有数都是素数。随后将索引 0 和 1 设置为 `false`,因为 0 和 1 不是素数。 2. **遍历并标记非素数** 从最小的素数 2 开始,如果当前数未被标记为非素数(即 `is_prime[i] == true`),则将其所有的倍数标记为非素数。为了避免重复操作,可以从 $ i^2 $ 开始标记(如优化版本中所述)。 3. **收集剩余的素数** 遍历结束后,布尔数组中仍为 `true` 的位置对应的索引值就是范围内的素数。 4. **返回结果** 将所有标记为素数的索引值提取出来,形成最终的素数列表或计数。 --- ### 实现代码示例 以下是一个 C++ 版本的埃拉托斯特尼筛法实现,用于生成小于等于 $ n $ 的所有素数: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> std::vector<int> sieve_of_eratosthenes(int n) { std::vector<bool> is_prime(n + 1, true); // 初始化布尔数组 is_prime[0] = is_prime[1] = false; // 0 和 1 不是素数 for (int i = 2; i <= std::sqrt(n); ++i) { if (is_prime[i]) { for (int j = i * i; j <= n; j += i) { is_prime[j] = false; // 标记 i 的倍数为非素数 } } } std::vector<int> primes; for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (is_prime[i]) { primes.push_back(i); // 收集剩余的素数 } } return primes; } ``` --- ### 流程图说明 尽管无法直接提供图像,但可以描述流程图的主要组成部分: - **输入节点**:指定上限值 $ n $。 - **初始化步骤**:创建布尔数组并设置初始状态。 - **循环判断**:检查当前数是否为素数,并根据结果进入标记步骤。 - **标记步骤**:将当前素数的所有倍数标记为非素数。 - **输出节点**:收集并返回所有未被标记的数(即素数)。 --- ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:$ O(n \log \log n) $,其中 $ n $ 是给定的上限值。 - **空间复杂度**:$ O(n) $,用于存储布尔数组。 ---
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