素数筛法

素数筛法

      素数是ACM中数论题目常常涉及到得问题。最基本的问题就是如何判断一个数是素数以及如何快速的打出题目涉及范围的素数表。当然数论中关于素数的问题会比较复杂，在这里仅就素数的不同筛法做出总结。

      素数，就是只有1和自身两个约数的正整数。2是最小的素数。根据定义，我们就可以直接判断一个数字n是否是素数。优化后的复杂度是O(n*sqrt(n))。至于为什么，我就不做赘述了，自己可以稍作思考。但是，在大规模的数据范围时，这个算法会耗时太多，显得十分低效！

所以要减少时间复杂度，就可以用到素数筛法。

素数筛法的基本思路是：一个数如果存在一个素数因数，那么这个数必为合数。所以我们可以对一串数进行遍历，当一个数是素数时，把它的所有倍数标记为合数，当遍历到一个数时，如果它没有被标记，则它为素数。

          以下代码：

#define MAXSIZE 10001  
  
int Mark[MAXSIZE];  
int prime[MAXSIZE];  
  
//判断是否是一个素数  Mark 标记数组 index 素数个数  
int Prime(){  
    int index = 0;  
    memset(Mark,0,sizeof(Mark));  
    for(int i = 0;i < MAXSIZE;i++){  
        //已被标记  
        if(Mark[i] == 1){  
            continue;  
        }  
        else{  
            //否则得到一个素数  
            prime[index++] = i;  
            //标记该素数的倍数为非素数  
            for(int j = i*i;j < MAXSIZE;j += i){  
                Mark[j] = 1;  
            }  
        }  
    }  
    return index;  
}  

但是我们会发现，存在重复的筛去，所以就要对以上代码进行优化

优化代码：

int Mark[MAXSIZE];  
int prime[MAXSIZE];  
  
//判断是否是一个素数  Mark 标记数组 index 素数个数  
int Prime(){  
    int index = 0;  
    memset(Mark,0,sizeof(Mark));  
    for(int i = 2; i < MAXSIZE; i++)  
    {  
        //如果未标记则得到一个素数  
        if(Mark[i] == 0){  
            prime[index++] = i;  
        }  
        //标记目前得到的素数的i倍为非素数  
        for(int j = 0; j < index && prime[j] * i < MAXSIZE; j++)  
        {  
            Mark[i * prime[j]] = 1;  
            if(i % prime[j] == 0){  
                break;  
            }  
        }  
    }  
    return index;  
}  

利用了每个合数必有一个最小素因子。每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。所以为线性时间。
代码中体现在：
if(i%prime[j]==0)break;
prime数组 中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[j]，那么i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime[j], prime[j] 比 prime[j+1]小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。
在满足i%prime[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,pr[j]必定是pr[j]*i的最小因子。

还存在更好优化：

<span style="color:#ff9900;">//这就是素数的二次筛法  
//与前两种筛法不同，此种筛法中prime[i]=2*i+3（即：我们只存储奇数，偶数肯定不是素数的）   
</span>#define Max 1000000  
bool prime[Max>>1];  
void IsPrime(){  
     memset(prime,true,sizeof(prime));  
     int n=Max>>1,m=(int)(sqrt(Max*1.0)/2.0);  
     for(int i=0;i<=m;i++)          
        if(prime[i])  
          for(int j=2*i*i+6*i+3;j<=n;j+=2*i+3)  
            isprime[j]=false;  
}  

参考链接：http://blog.youkuaiyun.com/sjf0115/article/details/8693756#comments

http://blog.youkuaiyun.com/once_hnu/article/details/6302283#comments